3.5 Вопросы и задания к теме «Структура векторного пространства»

Вопросы.

1. В каких задачах возник «язык» направленных отрезков?

2. Какую роль выполняет аксиома размерности векторного пространства?

3. Какую роль выполняют 8 аксиом сложения и умножения в аксиоматике векторной структуры?

4. Объяснить назначение структуры скалярного произведения.

Задания.

1. Привести примеры задач, в решении которых применяется векторная структура.

2. Объяснить, почему изображение на дисплее имеет векторную структуру.

3. Определите изоморфизм модели направленных отрезков на её координатную реализацию. Какой операции над координатами соответствует правило параллелограмма сложения отрезков при этом изоморфизме?

4. Покажите, что все векторные пространства одинаковой размерности изоморфны.

§4 Модель Вейля евклидовой геометрии.

4.1 Арифметическая модель трехмерного евклидова пространства.

Геометрической моделью трехмерного евклидова пространства будем называть множество точек, прямых и плоскостей, удовлетворяющих двадцати аксиомам Д. Гильберта, сформулированным в §2, а также множество всевозможных фигур со свойствами, которые логически доказываются в рамках сформулированной аксиоматики. Эту модель будем обозначать ³ и называть трёхмерным евклидовым пространством.

В этом параграфе вначале будет построена арифметическая (координатная) модель трёхмерного евклидова пространства ³ по схеме Г. Вейля, а затем, по этой же схеме будет построена модель многомерного арифметического евклидова пространства. Эта схема называется обоснованием евклидовой геометрии по Вейлю (Герман Вейль, 1885-1955); она базируется на системе аксиом Вейля, называемой точечно-векторной, т.к. в ней неопределяемыми понятиями (объектами аксиоматики) являются точки и векторы. Точки и векторы называются основными геометрическими объектами в модели Вейля, вступающими в отношения, определяемыми тремя группами аксиом, образующими аксиоматику Г. Вейля. Вот эти три группы аксиом:

-группа аксиом векторного пространства;

- группа аксиом скалярного произведения;

-группа аксиом откладывания вектора.

Первые две группы аксиом нам уже известны. Для изложения третьей группы аксиом введем операцию откладывания вектора. Эта операция сопоставляет всяким двум точкам A,B³ вектор и обозначается как отображение . Операцию можно представить как изображение направленного отрезка и определить следующими свойствами.

1. Для всякой фиксированной точки A₀³ и произвольной точки B³ отображение

(4.1)

является взаимно-однозначным отображением точек B³ на множество векторов .

2. ( Аксиома треугольника). Для любых трех точек A,B,C³ справедливо равенство

.

3. ( Аксиома реализуемости операции откладывания). Существует хотя бы одна точка 0³, для которой определена операция откладывания вектора для любой точки

_{Эти три аксиомы будем называть аксиомами откладывания вектора.}

Точку в аксиоме 3 называют началом координат в евклидовом пространстве ³, а вектор – радиус-вектором точки в этом пространстве. Координатами точки M³ называют координаты радиус-вектора (рис.4.1), где , , – направленные отрезки в ³, соответствующие базисным векторам , , векторного пространства при отображении (4.1) с . Таким образом, по построению операции откладывания вектора в ³, приходим к векторному равенству

. (4.2)

Это равенство, с учетом фиксированной точки 0³, представляет взаимно-однозначное соответствие между точками M³ и арифметически упорядоченными тройками чисел и позволяет определить координаты всех точек М евклидова пространства ³.

Для вычисления длин отрезков и углов между ними воспользуемся свойством 1 операции откладывания отрезка, и группой аксиом скалярного произведения, согласно которой имеют место следующие свойства скалярного произведения (3.6), (3.8), (3.9), (3.10) из §3.

Пусть требуется найти длину отрезка , если заданы координаты его концов и . Учитывая, что , из формулы (8) § 3 находим длину

(4.3)

Пусть = (u₁,v₁,w₁) и = (u₂,v₂,w₂) - направленные отрезки в ³ и пусть их координаты (u₁,v₁,w₁), (u₁,v₁,w₁) в Е³. Тогда, используя формулы (3.6), (3.9), (3.10) из §3, получаем формулу для косинуса угла образованного векторами и

(4.4)