Пример 1.

Множество многочленов степени не выше

образует векторное пространство размерности n+1, в котором мономы – базисные элементы, а коэффициенты многочлена – координаты вектора в этом базисе.

Пример 2.

Пусть , ,…, - « -местные наборы», имеет 1 на -м месте и нули на остальных местах, . Тогда объекты

образуют векторное пространство с базисными элементами . Обозначим это пространство .

Пример 3.

Объекты вида

=A (3.4)

называют матрицами размерности mxn, в которых элементы стоят в i-м ряду на j-м месте. Если объекты – числа, то матрица называется числовой.

Такие матрицы возникают, например, если пиксельную систему экрана персонального компьютера представить в виде чисел, указав для пикселя, находящегося на пересечении i-го ряда и j-го столбца, число, соответствующее частоте (или длине) световой волны. Таким образом, любая информация, изображаемая на мониторе, представляется числовой матрицей вида (3.4).

Сумма и разность двух матриц определяется по правилу

A  B= =

= =C, (3.5)

т.е.элементы матрицы С представляют собой суммы или разности соответствующих элементов матриц А и В.

Операция умножения матрицы А на некоторое число  определяется умножением всех элементов матрицы А на это число.

Множество матриц одной размерности с только что определенными операциями образуют векторное пространство.

Учитывая определенные выше операции для матриц, заключаем, что базис этого векторного пространства образуют mxn элементов вида

где на всех местах, кроме , стоят нули, а =1.

С помощью этого базиса мы можем написать

А = =

Размерность этого векторного пространства есть N=mxn.

Определение абстрактного векторного пространства.

Элементы х множества Х образуют абстрактное векторное пространство Х, если для них выполняется 8 аксиом векторного пространства относительно операций сложения элементов и умножения этих элементов на действительные числа и аксиома размерности x = + + … + , где элементы образуют базис в Х.

Замечание. Пространство построенное в примере 2 выше является арифметической или координатной моделью абстрактного векторного пространства Х размерности n. Элементы этого векторного пространства могут быть произвольной природы, в чём мы убедились на примерах приведённых выше, но все они имеют одну и ту же арифметическую или, что тоже, координатную модель.

Следствие.

Все -мерные абстрактные векторные пространства имеют одну и ту же арифметическую модель, поэтому изоморфны друг- другу.

Если векторное пространство содержит для всякого подмножество, , которое само является векторным пространством и для него выполняется аксиома размерности с заданным , то назовем бесконечным векторным пространством. Примером такого пространства является множество всех многочленов. Подмножества многочленов степени не выше n-1 образуют n мерные подпространства в этом пространстве.

3.4 Аксиомы скалярного произведения векторов.

_Модель арифметического -мерного пространства не содержит понятий длинны вектора и углов между векторами. Чтобы установить понятие длины вектора и углов между векторами в пространстве размерности _{рассмотрим какими свойствами определяется правило измерения длин и углов в геометрической трёхмерной модели направленных отрезков .}

Напомним, что в геометрической модели трехмерного векторного пространства определяется скалярное произведение представлением

(3.6)

В школьном курсе геометрии из этого представления выводятся три свойства:

1. , (3.7)

2. , и

3. ; .