Вывод 1.

Если в пространстве задан базис { ₁, ₂, ₃}, то между множеством векторов геометрической модели направленных отрезков и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие

↔(x,y,z), (3.1)

которое определяется разложением вектора в заданном базисе: .

Чтобы объявить множество упорядоченных троек чисел арифметической или, что тоже, координатной моделью трехмерного векторного пространства, нам надо определить операции сложения векторов и умножения на число в координатной форме, учитывая определения этих операций в геометрической модели направленных отрезков.

Для удобства будем считать, что , , – известный в элементарной геометрии базис, состоящий из единичных взаимно-перпендикулярных векторов. Для простоты, также, ограничимся двумерным случаем.

Пусть , . Тогда и элементы геометрической модели и для них определена сумма

.

Учитываем, что , , и также элементы геометрической модели и, используя свойства 1-4 сложения и свойства 1-4 умножения, получаем:

Согласно соответствию (1.10), установленному выше, заключаем, что – координаты вектора . Аналогично показывается, что вектор имеет координаты .

Вывод 2.

Операции сложения по правилу параллелограмма в геометрической модели направленных отрезков соответствует операция сложения по координатам в арифметической (координатной) модели векторов, операции умножения направленного отрезка на число соответствует операция умножения всех координат этого вектора на число в координатной модели .

Наконец, для противоположного вектора находим координаты: .

Вывод 3.

В координатной модели определены операции сложения векторов и умножение векторов на число. Доказательство этих фактов использует в точности 8 свойств операций сложения и умножения, установленных в геометрической модели. При построении координат использовалась теорема размерности для направленных отрезков , поэтому эти 8 свойств и свойство размерности называют девятью аксиомами арифметической модели векторного пространства.

Мы завершили решение сформулированной в начале параграфа задачи А. Вот это решение:

На множестве направленных отрезков система восьми свойств операции сложения направленных отрезков и умножения на число и утверждение о размерности векторного пространства определяет арифметическую модель векторного пространства.

Попутно мы устанавливаем следующее свойство.

Вывод 4.

Между элементами геометрической модели векторного пространства и элементами арифметической модели векторного пространства существует взаимно однозначное соответствие (3.1), обозначим его

, . (3.2)

Это соответствие сохраняет результат линейных операций сложения векторов и умножения на число:

(3.3)

и называется изоморфизмом арифметической и геометрической моделей векторного пространства направленных отрезков.

3.3 Определение и примеры абстрактного векторного пространства.

В этом параграфе будет построена аксиоматика и приведены примеры векторного пространства для многомерного случая N3. Для этого заметим, что с понятием размерности N в геометрической модели направленных отрезков связана только аксиома размерности векторного пространства, в которой определено понятие базиса для случаев размерностей 1, 2 и 3. Формулировка восьми свойств операций сложения векторов и умножения векторов на число от размерности базиса не зависят. Поэтому, чтобы построить аксиоматику многомерного векторного пространства, достаточно определить понятие базиса для векторного пространства при N3, а остальные восемь аксиом оставить без изменения.

Определение базиса и размерности векторного пространства для N3.

Наименьший по n набор n элементов из X таких, что всякий элемент x из X представляется в виде линейной комбинации

x = + + … +

называется базисом в X, а упорядоченный набор чисел ( , ) называется координатами элемента x в пространстве X.

Рассмотрим примеры объектов, удовлетворяющих этим аксиомам и являющиеся моделями многомерных векторных пространств..