Государственный комитет Российской Федерации

по высшему образованию

В. А. Селезнев, Л.В.Пехтерева

Структурные свойства математического языка

Учебное пособие для студентов факультета гуманитарного образования.

Новосибирск

2016

СЕЛЕЗНЕВ В. А., ПЕХТЕРЕВА Л.В. Структурные свойства математического языка: учебное пособие. – Новосибирск: изд-во НГТУ, 2016г.

Настоящее пособие предназначается для студентов 1 курса факультета гуманитарного образования и содержит разделы: формирование числовых и геометрических аксиоматических систем в математике, структурные свойства аксиоматических систем, математическое моделирование случайных событий.

Объем пособия соответствует семестровому курсу «математика» для специальностей ….

Цель пособия – познакомить студентов, получающих гуманитарное образование с идеями и методами формирования математики как языкового инструмента. Демонстрация этих идей и методов основана на традиционных классических аксиоматических теориях числовых и геометрических моделей.

Список библ. … названий.

Рецензент: доктор физ.-мат. наук, профессор Судоплатов С.К.

Работа выполнена на кафедрах высшей и инженерной математики.

© Новосибирский Государственный

Технический Университет, 2016

.

Оглавление

ВВОДНАЯ ГЛАВА. 5

Назначение знаковых языковых систем 5

1. Язык как инструмент интеллекта 5

2. Функциональные свойства языковых систем 5

3. Определение и примеры языковых систем 6

4. Основные языковые понятия 7

5. Предметное назначение языковых систем 8

6. Цели краткого курса математики для гуманитариев 9

7. Вопросы и задания к теме «Назначение знаковых языковых систем» 10

Глава I 11

Формирование аксиоматических систем в математике 11

§1. Формирование числовых систем 11

1.1 Система натуральных чисел. 11

1.2 Построение множества рациональных чисел. 13

1.3 Аксиоматика рациональных чисел. 16

1.4 Необходимость расширения множества рациональных чисел. 18

1.5 Аксиоматическое построение множества действительных чисел. 19

1.6 О представлении действительных чисел. 20

1.7 Языковые свойствах числовых систем. 24

1.8 Вопросы и задания к теме «числовые системы». 25

§2. Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии. 27

2.1. О “Началах” Евклида. 27

2.1.1. Структура «Начал» Евклида 27

2.1.2 Историческое значение «Начал» Евклида 28

2.1.3 Историческое развитие дедуктивной схемы «Начал» Евклида 28

2.2 Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943) 29

2.2.1 Группа 1. Аксиомы соединения. 30

2.2.2 Группа 2. Аксиомы порядка. 31

2.2.3 Группа 3. Аксиомы конгруэнтности. 32

2.2.4 Группа 4. Аксиомы непрерывности. 34

2.2.5 Группа 5. Аксиома параллельности (евклидовой геометрии). 35

2.3 Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта. 36

2.4 Структурный характер аксиоматики Д.Гильберта 37

2.5. Вопросы и задания к теме «Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии». 37

§3. Структура векторного пространства. 38

3.1 Модель направленных отрезков. 38

3.2 Построение арифметической модели векторного пространства направленных отрезков 42

3.3 Определение и примеры абстрактного векторного пространства. 44

3.4 Аксиомы скалярного произведения векторов. 47

3.5 Вопросы и задания к теме «Структура векторного пространства» 49

§4 Модель Вейля евклидовой геометрии. 50

4.1 Арифметическая модель трехмерного евклидова пространства. 50

4.2 Арифметическая модель многомерного евклидова пространства 53

4.3. Вопросы и задания к теме «Модель Вейля евклидовой геометрии» 54

§ 5. Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского. 56

5.1 Основные понятие модели А. Пуанкаре плоскости Лобачевского. 56

5.2 Основные неевклидовы факты в планиметрии Лобачевского. 59

5.3 Научная значимость открытия геометрии Лобачевского. 62

5.4 Вопросы и задания к теме «Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского» 62

ГЛАВА II 64

Структурные свойства аксиоматических теорий. 64

§6 Математические структуры и аксиоматические теории. 64

6.1 Понятие отношений между объектами. 64

6.2 Понятие математической структуры. 66

6.3 Модель или реализация системы аксиом. 67

6.4 Формальная и содержательная аксиоматики, аксиоматические теории и математические структуры. 68

6.5 Изоморфизм. 69

6.6 Вопросы и задания к теме «Математические структуры и аксиоматические теории». 71

§7 Требования, предъявляемые к системам аксиом. 71

7.1 Непротиворечивость системы аксиом. 71

7.2 Независимость аксиоматической системы. 72

7.3 Независимость аксиомы параллельности. 73

74

7.4 Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом. 74

7.5 Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики. 76

§8 Смысловой анализ текстовых продуктов. 77

8.1 Понятие смыслового анализа текстового продукта. 77

8.2 Языковые свойства имен объектов. 78

8.3 Проблема выражения смысла. 78

8.4 Понятие искусственного языка. 79

8.5 Понятие и анализ парадоксов. 80

8.6 “Ахиллес и черепаха”. 81

8.7 Парадокс пустого множества. 81

8.8 Парадокс конечной достижимости в очереди. 82

8.9 Противоречивость в дедуктивных схемах 83

85

ГЛАВА III 85

Математическое моделирование случайных событий 85

§ 9 Понятие вероятности случайного события. 85

9.1 Необходимость изучения случайных событий. 85

9.2 Относительная частота и вероятность случайного события. 86

9.3 Классическое определение вероятности. 87

Моделирование случайных событий случайными величинами. 89

10.1 Понятие случайной величины. 89

10.2 Геометрические вероятности. 89

10.3 Парадокс Бертрана. 91

10.4 Условия корректного моделирования случайного события 93

Заключение 95

Обозначения. 98

Литература 99