Задание 16 “Финансовый риск. Формирование портфеля”

1. Цена акции может принимать значения 5, 12 и 18 с вероятностями, равными соответст-венно 0.4, 0.5 и 0.1. Найдите среднюю цену и риск акции.

2. Дано 5 видов акций, средние цены которых равны соответственно 1, 2, 3, 4, 5, а дисперсии цен – 2, 4, 5, 10, 15. Найдите средние цены и дисперсии портфелей, составленных поровну из акций первых двух видов, первых трех видов, первых четырех видов, всех пяти видов в предположении независимости цен всех акций.

3. Ответьте на вопрос задачи 2 в предположении, что коэффициент корреляции цен первых двух бумаг равен 0.8, четвертой и пятой –0.8, остальные равны нулю. Сравните полученные результаты.

4. Исходные условия для задач 1,2,3.

На рынке обращается два вида взаимно независимых рисковых активов А и В. Уровни их фактической доходности за некоторое число наблюдений одновременно принимали следующие значения:

Таблица 67.

Доходности активов	Периоды наблюдений (t)
	1	2	3	4	5	6
Аt	20	-7	8	14	33	18
Вt	5	17	2	8	15	17

Задача 1. (Расчет основных характеристик портфеля из двух рисковых активов)

Определить значения ожидаемой доходности и риска для активов А и В, а также портфеля, составленного на 60% из активов А и на 40% из активов В.

Задача 2. (Расчет основных характеристик портфеля с минимальным риском)

Определить структуру, значения его ожидаемой доходности и риска для портфеля с минимальным риском.

Задача 3. (Расчет структуры оптимального портфеля в зависимости от функции полезности инвестора)

Определить структуру портфеля, оптимальную для инвестора с функцией полезности:

а) (332)

б) (333)

Дать графическую интерпретацию решения задачи для обоих случаев. В каком случае инвестор в большей степени антипатичен к риску?

5. Исходные условия для задач а, b.

• На рынке обращаются два вида взаимно независимых риско­вых активов А и В, характеризующиеся значениями ожида­е­мой доход­ности 23% и 10% соответственно, значениями рис­ка, измеряемого стандартным отклонением, – 9% и 3% соответственно.

• Кроме того, существует безрисковый актив С с фикси­рован­ной доходностью 4%.

Задача A

Для получения инвестором дохода, равного 12% от величины средств, вложенных им в активы А, В и С, определить:

а) структуру и риск всех вложений инвестора;

б) долю средств инвестора, вложенных им в портфель, состав­лен­ный из рисковых активов;

в) структуру, ожидаемую доходность и риск портфеля риско­вых активов.

Дать характеристику типа поведения инвестора на рынке без­рисковых активов.

Задача B

Определить показатели, перечисленные в пп. а) – в) задачи A при условии, что инвестор желает получить доход, равный 16% от величины вложенных им средств, и сравнить их с предыдущими результатами. Охарактеризовать тип поведения инвестора на рынке безрисковых активов.

Задача 17.

Рынок квартир в Казани. Данные для этого исследования собраны студентами Института Социвльных и Гуманитарных Знаний в 2006 г. После проведенного анализа была выбрана логарифмическая форма модели, как более соответствующая данным:

(334)

Здесь LOGPRICE — логарифм цены квартиры (в долл. США), LOGUVSP — логарифм жилой площади (в кв. м), LOGPLAN — логарифм площади нежилых помещении (в кв. м), LOGKJTSP — логарифм площади кухни (в кв. м), LOGDIST — логарифм расстояния от центра Москвы (в км). Включены также бинарные, «фиктивные» переменные, принимающие значения 0 или 1: FLOOR — принимает значение 1, если квартира расположена на первом или на последнем этаже, BRICK — принимает значение 1, если квартира находится в кирпичном доме, BAL — принимает значение 1, если в квартире есть балкон, LIFT — принимает значение 1, если в доме есть лифт, R1 — принимает значение 1 для однокомнатных квартир и 0 для всех остальных, R1, R3, R4 — аналогичные переменные для двух-, трех- и четырехкомнатных квартир. Результаты оценивания уравнения (1.5) для 464 наблюдений, относящихся к 1996 г., приведены в таблице 68.

Таблица 68.

Переменная	Коэффициент		Стандартная ошибка		t-статистика		P-значение
CONST		7.106		0.290		24.5		0.0000
LOGUVSP		0.670		0.069		9.65		0.0000
LOGPLAN		0.431		0.049		8.71		0.0000
LOGKITSP		0.147		0.060		2.45		0.0148
LOGDIST		-0.114		0.016		-7.11		0.0000
BRICK		0.134		0.024		5.67		0.0000
FLOOR		-0.0686		0.021		-3.21		0.0014
LIFT		0.114		0.024		4.79		0.0000
BAL		0.042		0.020		2.08		0.0385
Rl		0.214		0.109		1.957		0.0510
R2		0.140		0.080		1.75		0.0809
S3		0.164		0.060		2.74		0.0065
R4		0.169		0.054		3.11		0.0020

Задача 18.

Задача наращения по сложной процентной ставке/ Период начисления один год

Срок больше года

1 год - FV = PV+PV i = PV(1+i)

2 года – FV = PV(1+i)+PV (1+i)I = PV(1+i)(1+i) =  РV(1+i)²

3 года - FV = PV(1+i) ² +PV(1+i) ² i = PV(1+i)(1+i)(1+i)= РV(1+i) і

n лет - FV = PV(1+i)(1+i)……….(1+i) =РV(1+i)ⁿ

Формула сложных процентов:

n-целое число

FV = PV(1+i)^{n (335)}

Где (1+i)ⁿ - множитель наращения

Формула сложных процентов

1)n< 1

FV = PV(1+i)ⁿ(1 +ni)>(1+i)^{n (336)}

2)n, = а + в;

где а – целое число лет;

в – дробное число лет

FV = PV(1+i)^а(1+вi) (337)

Рост денежных средств при начислении простых и сложных процентов

Пример

Дано: PV = 10т.р. i=10%

а) n = 2; n =1/2; n = 2,5;

Определить: FV = ?;

Решение.

а) FV = 10(1 + 0,1) ² = 12,1т.р.

б) FV = 10(1 + 0,1) ^1/2 = 10,488т.р.

FV = 10(1 + ½ 0,1) = 10,5т.р

в) FV = 10(1 + 0,1) ² (1 + ½ 0,1) = 12,705т. р.

FV = 10(1 + 0,1) ^2,5 =12,690т.р

Период начисления меньше года(m-кратное начисление процентов)

Jm – номинальная ставка, начисляемая m-раз в год

Продолжительность операции один год:

на конец первого периода начисления –FV = PV+PVj/m= PV(1+j/m)

через m-периодов (конец года) FV = PV(1+j/m)^m

Продолжительность операции n - лет: FV = PV(1+j/m) ^{(m х n)}

Эффективная процентная ставка (эквивалентная)

(1 + iэ) ⁿ = (1+j/m)^mn

(1 + iэ) = (1+j/m)^{m (339)}

iэ = (1+j/m)^m –1

Вычисление номинальной ставки, начисляемой m-раз в год на основе эффективной ставки.

Пример: Дано: PV = 10т.р.

а) i=10%

б) J2 = 10%;

в) J4 = 10%;

г) J12 = 10%;

Определить: FV = ?; iэ = ?

Решение.

а) FV = 10(1+0,1) = 11,0 т. р. (340)

. Продолжение

б) FV = 10(1+0,1/2) ² = 11,025 т.р. (341)

iэ = (1+0,1/2) ² –1 = 10,25%

в) FV = 10(1+0,1/4) ⁴ = 11,038 т.р. (342)

iэ = (1+0,1/4) ⁴ –1 = 10,38%

г) FV = 10(1+0,1/12) ¹² = 11,047 т.р. (343)

iэ = (1+0,1/12) ¹² –1 = 10,47% (344)

Задача 19.

Непрерывное начисление процентов

Множитель наращения:

Где: д - сила роста (номинальная ставка)

℮ - основание натуральных логарифмов (2,718)

Будущая стоимость:

Пример

Дано: PV = 10т.р. ; δ = 10%

Определить: FV = ?; iэ = ?

Решение.

FV = 10 ℮ ^0,1 = 10 х (2, 718…)^0,1 =11,052т.р. (345)

iэ = 2, 718…^0,1 –1 = 0,1052 (10,52%) (346)

Задача дисконтирования по сложной процентной ставке (математическое дисконтирование)

Пример

Дано: FV = 20т.р.;n = 4

а) i = 10%; б) j4 = 10%

Определить: PV = ?

Решение:

а) FV = 20/(1 + 0,1) ⁴ = 13,66 т.р. (347)

б) FV = 20/(1 + 0,1/4) ¹⁶ = 13,47 т.р. (348)

Задача 20.

Задача дисконтирования по сложной учетной ставке(банковский учет) Срок операции больше года Начисление ставки один раз в год:

PV = FV(1-d) ^{n (345)}

m-кратное начисление ставки

fm – номинальная учетная ставка, начисляемая m – раз в год

PV = FV(1-f/m) ^{(m х n)}

Эффективная учетная ставка

(1-dЭ) = (1-f/m) ^{m (346)}

dЭ = 1- (1-f/m) ^{m (347)}

Пример.

Дано: FV = 20т.р.; n = 5 лет; f4 = 5%

Определить: PV = ?; dэ = ?

Решение:

PV = 20 х (1 – (0,05/4) ^4x5 = 15,552 т.р. (348)

Dэ = 1 - (1 – (0,05/4)⁴ = 0,049 то есть = 4,9% (349)

Задача 21.

Наращение по сложной учетной ставке.

Срок операции больше года. Определение величины сложных ставок

Определение сложной процентной ставки

Определение сложной учетной ставки

Пример.

Дано: PV = 1000 руб.;FV =2595руб.; n = 10 лет;

Определить:i =?;

Решение:

i = (2595/ 1000) ^1/10 - 1 = 0,1 (350)

Задача 22

Учет  инфляции при определении эффективности финансовых операций

Показатели инфляции:

1.Iцен

2. (Iцен – 100) = Y(%) – уровень инфляции

Исчисление будущей стоимости с учетом инфляции

Ставка фактической доходности (эквивалентная)

Пример 

PV= 100т.р.

i = 90%; Yгод = 50%

Задача 23.

Финансовые потоки

Нерегулярные денежные потоки

Параметры финансовых потоков:

Rt –суммарный платеж в t – срок

t – время от начала потока платежей до момента выплаты (t = 0, …, n)

n – срок финансовой операции

i – ставка наращения

Наращенная стоимость

потока платежей

Пример R01.07.00. = 50 т.р.(t=0); R01.01.01.=150 т.р.(t=0,5); R01.01.03. = 180т.р.(t=2,5) Возврат – 01.01.04(n=3,5) i=8% Текущая стоимость потока платежей

Пример

R01.07.00. =50 т.р.(t=0); R01.01.01. =150 т.р.(t=0,5); R01.07.03.=180 т.р.(t=2,5);

Задача 24.

Финансовые потоки Регулярные денежные потоки (финансовая рента, аннуитет)

Параметры аннуитета:

R – суммарный годовой платеж

p – число платежей в году (размер разового платежа - R/p)

t – время от начала потока платежей до момента выплаты (t = 0, …, n)

n – срок финансовой операции

i;(jm) – сложная процентная ставка (начисляемая m-раз в год)

Наращение регулярного финансового потока(p=1; m=1)

Суммарная будущая стоимость аннуитета

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando (m=1, p=1)

Пример

R = 50

i = 10%

n = 4 года; p=1; m=1

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета prenumerando (m=1, p=1)

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando (m=р1)

Условия предыдущего примера но m=2; p=2

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando (m>р.;p=1)

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando (m>р; p=1)

Условия предыдущего примера, но m = 2;p = 1

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando (p>m, m=1).

Условия предыдущего примера, но р. = 2;m=1

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando

Пример 4

р =2; n=2; m=4; j=80%

FVf = 500млн.р.

Задача 25.

Дисконтирование регулярного финансового потока (аннуитета)

Современная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando  (p= m=1)

Пример 5

R=2млн.р.

P= 1; m= 1; i= 10%; n= 4

PVf=?

Вечная рента i=5%

Пример

R=1200

P= 1; m= 1; i= 10%; n= 20

PVf = ?

Пример

R=1200

P= 1; m= 1; i= 10%; n = вечно

PVf = ?

Современная стоимость постоянного срочного аннуитета prenumerando (p= m=1)