Исследование видоизмененной смо

Пользователю при работе с программой необходимо задать основные параметры СМО, такие как интенсивности потоков, количество каналов, приоритетных классов, мест в очереди (если количество мест в очереди равно нулю, то СМО с отказами), а также временной интервал модуляции и количество испытаний. Программа преобразовывает сгенерированные случайные числа по формуле (34), таким образом, пользователь получает последовательность временных интервалов , распределенных показательно. Затем отбирается заявка с минимальным , и ставится в очередь, согласно ее приоритету. За это же время происходит перерасчет очереди и каналов. Затем эта операция повторяется до окончания времени модуляции, задаваемого изначально. В теле программы присутствуют счетчики, на основании показаний которых и формируются основные показатели СМО. Если для увеличения точности было задано несколько испытаний, то в качестве конечных результатов принимается оценка за серию опытов. Программа получилась достаточно универсальной, с ее помощью могут быть исследованы СМО с любым количеством приоритетных классов, либо вообще без приоритетов. Для проверки корректности работы алгоритма, в него были введены исходные данные классической СМО, исследуемой в разделе 7. Программа смоделировала результат близкий к тому, который был получен с помощью методов теории массового обслуживания. Погрешность, возникшая в ходе имитационного моделирования, может быть объяснена тем, что проведено недостаточное количество испытаний. Результаты, полученные с помощью программы для СМО с двумя приоритетными классами и увеличенным числом каналов, показывают целесообразность этих изменений. Высший приоритет был присвоен более «быстрым» заявкам, что позволяет быстро обследовать короткие задания. Сокращается средняя длина очереди в системе, а соответственно минимизируется средство для организации очереди. В качестве основного недостатка данной организации можно выделить то, что «долгие» заявки находятся в очереди длительно время или вообще получают отказ. Введенные приоритеты могут быть переназначены после оценки полезности того или иного типа заявок для СМО.

При решении таких игр могут быть 2 ситуации:

игроку А неизвестны вероятности pj, с которыми природа реализует свои состояния;

вероятности pj известны.

Для принятия решения в таких играх используют различные критерии.

Если вероятности pj состояний природы неизвестны, то можно пользоваться критериями Ваальда, Лапласа, Сэвиджа, Гурвица и пр. Основное различие между названными критериями определяется стратегией поведения лица, принимающего решение в условиях неопределенности. Например, критерий Лапласа основан на более оптимистичных предположениях, чем критерий Ваальда. Критерий Гурвица можно использовать при различных подходах: от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного.

Таким образом, перечисленные критерии, несмотря на их количественную природу, отражают субъективную оценку ситуации, в которой статистику приходится принимать решение. К сожалению, не существует общих правил оценки применимости того или иного критерия, так как поведение лица, принимающего решение, по всей видимости, является наиболее важным фактором при выборе подходящего критерия. Сформулируем эти критерии.

1. Критерий Лапласа

Этот критерий опирается на принцип недостаточного обоснования, по которому считается, что наступление всех состояний природы равновероятно, то естьp1=p2=...=pn=1/n, а оптимальной считается стратегия Ai, обеспечивающая

. (321)

2. Критерий Вальда (минимаксный или максминный критерий)

Этот критерий является наиболее осторожным, поскольку основан на выборе наилучшей из наихудших возможностей:

 – в случае нахождения выигрыша;

 – в случае нахождения потерь.

Это пессимистические критерии.

3. Критерий Сэвиджа (минимаксного риска)

Критерий Вальда настолько пессимистичен, что может привести к нелогичным выводам. Рассмотрим следующую матрицу потерь, которая обычно приводится в качестве классического примера для обоснования “менее пессимистичного” критерия Сэвиджа.

Таблица 64.

	В1	В2
А1	11000	90
А2	10000	10000

Применение минимаксного критерия приводит к выбору стратегии А2, хотя интуитивно можно выбрать А1, так как при этом выборе можно надеется проиграть 90, тогда как выбор А2 всегда приводит к потерям в 10000 единиц при любом состоянии погоды..

Критерий Сэвиджа “исправляет” положение введением новой матрицы потерь, в которой  заменяются на  , определяемые следующим образом:

(322)

Это означает, что   есть разность между наилучшим значением в столбце j и значением  .

По существу,   выражает сожаление лица, принимающего решение, по поводу того, что он не выбрал наилучшего действия относительно состояния j. МатрицаR=( )называется матрицей сожаления или матрицей риска.

Найдем оптимальную стратегию предыдущей задачи по этому критерию:

.

Применим к матрице “сожаления” R минимаксный критерий. Получим, что оптимальной стратегией будет– А.

Отметим, что независимо от того,  – доход или потери,  – всегда потери. Поэтому к матрице “сожаления” всегда применяется минимаксный критерий.

4. Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма)

Этот критерий охватывает ряд различных подходов к принятию решений: от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного.

При оптимистичном подходе выбирают стратегию, дающую:

, если  (323)

Если – прибыль, то выбирается стратегия по правилу:

(324)

Если – затраты, критерий выбирает стратегию, дающую

Задание 10.

Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений 2-го рода.

Пусть необходимо вычислить линейный функцио­нал  , где  , причём для интегрального опера­тора   с ядром   выполняется условие, обеспечивающее сходимость ряда Неймана:  . Цепь Маркова   опреде­ляется начальной плотностью   и переходной плотностью  ; вероятность обрыва цепи в точке   равна ; (325)  — случайный номер последнего состояния. Далее определя­ется функционал от траектории цепи, математическое ожидание которого равно  . Чаще всего используется т. н. оценка по столкновениям , (326) где ,  . (327) Если   при   и   при  , то при некотором дополнительном условии (328)

Возможность достижения малой дисперсии в знакопостоянном случае показывает следующее утверждение: если   и  , (329) где  , то  ,  . Моделируя подходящую цепь Маркова на компьютере, получают статистическую оценку линейных функционалов от решения интегрального уравнения 2-го рода. Это даёт возможность и локальной оценки решения на основе представления:  , где  . В методе Монте-Карло оценка пер­вого собственного значения интегрального оператора осущест­вляется итерационным методом на основе соотношения (330)

Все рассмотренные результаты почти автоматически распро­страняются на системы линейных алгебраических уравнений вида  .

Решение дифференциальных уравнений осуществляется методом Монте-Карло на базе соответствующих интегральных соотноше­ний. Изложенное представляет собой основу для построения эффективных модификаций статистического моделирова­ния. . Вероятность безотказной работы каждого из них в течение времени Т равна 5/6. Приборы выходят из строя независимо друг от друга. При отказе хотя бы одного прибора вся система перестает работать. Найти вероятность того, что система откажет за время Т.

Аналитическое решение.

Событие А – выход из строя хотя бы одного из трех приборов за время Т и событие – ни один из трех приборов не выйдет из строя за время Т, противоположные. Вероятность – искомая вероятность. Отсюда:

[331]

Задание 11. Финансовая математика

1. Вексель на 12 000 руб., погаша­емый через 90 дней, продан банку, который уста­новил простую учетную ставку 14% годовых. Какой будет выручка? (Используйте 360/360)

2. Клиент банка намеревается получить ссуду 100 000 руб. на 120 дней. Если банк начисляет 16 % процента авансом, какую сумму должен попросить клиент?

3. Какая эффективная годовая ставка соответствует номинальной ставке 11% годовых, начисляемых 3 раза в год (j₃=11% годовых)?

4. Номинальная процентная ставка, начисляемая ежемесячно, составляет 10% годовых. Чему равна эквивалентная ей номинальная процентная ставка, начисляемая по полугодиям?

5. Через десять лет следует вы­платить 570 тыс. руб. Если деньги стоят j₁=10% , найти эквивалентный долг через а) один год (от настоящего момента времени), б) двенадцать лет (от настоящего момента времени).

6. Вклад 100 тыс. руб. сделан на 5 лет по схеме сложных процентов. Найдите итоговую сумму, которую получит вкладчик, если: а) процентная ставка остается неизменной в течение 5 лет и составляет 11% годовых; б) процентная ставка составляет 10,5% годовых, начисляемых ежедневно; в) процентные ставки начисляются 1 раз в год и составляют по годам соответственно 11%, 10.5%, 10%, 10%, 9% годовых; г) процентные ставки начисляются m раз в год и составляют по годам соответственно j₁₂=11%, j₆=10.5%, j₄=10%, j₄=10%, j₂=9% годовых; д) процентная ставка составляет 10 % годовых, начисляемых непрерывно.

7. Клиент банка должен вернуть через 3 года сумму 150 тыс. руб. Клиент и банк пересмотрели условия договора: клиент решил вернуть долг сейчас. Сколько должен вернуть клиент, если: а) процентная ставка остается неизменной в течение 3-х лет и составляет 17% годовых; б) процентная ставка составляет 16,5% годовых, начисляемых ежедневно; в) процентные ставки начисляются 1 раз в год и составляют по годам соответственно 17%, 16.5%, 16% годовых; г) процентные ставки начисляются m раз в год и составляют по годам соответственно j₁₂=16,5%, j₆=16%, j₄=15,5% годовых; д) процентная ставка составляет 16% годовых, начисляемых непрерывно.

8. Кредит подлежит возврату 31.12.08г. в размере 50 тыс. руб. Стороны договорились о возврате кредита в 2 захода: некоторая сумма будет возвращена 31.08.08г. и втрое больше 31.03.09г. Найдите последнюю выплату, если кредит выдан под сложную ставку 16% годовых: а) эффективную процентную; б) номинальную годовую процентную ставку, начисляемую ежемесячно; в) эффективную учетную; г) номинальную годовую учетную ставку, начисляемую ежеквартально. Используйте схему 365/365.

9. Кредит подлежит возврату в 2 захода: 01.01.08г. в размере 20 тыс. руб. и 01.03.08г. в размере 30 тыс. руб. Стороны договорились о консолидированном возврате кредита 01.05.08г. Найдите выплату, если кредит выдан под сложную ставку 17% годовых: а) эффективную процентную; б) номинальную годовую процентную ставку, начисляемую по полугодиям; в) эффективную учетную; г) номинальную годовую учетную ставку, начисляемую ежемесячно. Используйте схему 365/365.

10. 100 тыс. руб. погашаются через 5 лет и 200 тыс. руб. через 10 лет от начального момента времени. Если деньги стоят j₁=10% годовых, через сколько лет оба платежа эквивалентно заменит выплата 250 тыс. руб.?

11. Господин Петров положил 2 года назад 600 тыс. руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке j₁₂=9% годовых. Схема вложений предусматривает возможность снятия денег без потери процентов. Восемь месяцев тому назад он снял со счёта 400 тыс. руб., а сегодня снял ещё 100 тыс. руб. Через 3 месяца он желает вложить некоторую сумму так, чтобы через год от сегодняшнего момента закрыть счёт, получив 500 тыс. руб. Какую сумму он должен вложить?

12. Имеется обязательство уплатить 100 000 руб. через 5 лет и ещё 25 000 руб. через 10 лет от начального момента времени. Этот контракт надо заменить на такой: уплатить 46 000 руб. через 3 года, а остальной долг выплатить через 7 лет (от начального момента времени). Какая сумма должна быть выплачена че­рез 7 лет, если на деньги начисляются 12% годовых: а) простая процентная ставка; б) простая учетная ставка; в) непрерывная; г) номинальная годовая учетная ставка, начисляемая по полугодиям; д) номинальная годовая процентная ставка, начисляемая ежеквартально?

13. Кооператор должен выплатить поставщику сырья через полгода после поставки 800 тыс. руб., ещё через полгода 1 500 тыс. руб. и ещё через 8 месяцев —300 тыс. руб. Эти платежи решено объединить в один и выплатить весь долг через год после поставки. а) Какую сумму надо выплатить, если начисляется 22% годовых (сложных)? б) Кооператор хочет выплатить долг одним платежом, равным 2800 тыс. руб. В какой момент он должен сделать такой платеж?

14. Ссуда в размере 230 тыс. руб. выдана 20.03 до 05.12 включительно под 18% годовых. Какую сумму должен за­платить должник в конце срока при начислении простых процен­тов? При решении применить три метода: 365/365, 360/360, 365/360.

15. Контракт предусматривает следующий порядок на­числения процентов: первый год— 18%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2 года для: а) простых; б) сложных процентов.

16. Движение средств на счете характеризуется следую­щими данными: 05.03 поступило 12 млн. руб., 10.07 снято 4 млн. руб. и 20.10 поступило 8 млн. руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 9% годовых (простая схема, 365/365).

17. Найти сроки удвоения первоначальной суммы вклада для простой и сложной процентной ставки 12% годовых?

18. Какой сложной годовой процентной ставкой можно заменить в контракте простую процентную ставку 18% годовых, не изменяя финансовых последствий? Срок операции 580 дней. (Используйте 365/365).

19. При разработке условий контракта стороны дого­ворились о том, что доходность кредита должна составлять 24% годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при на­числении процентов ежемесячно, поквартально?

20. Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке 20%?

21. Срав­ните разновременные платежи. Имеются два обязательства. Условия первого: выплатить 400 тыс. руб. через 4 месяца; условия второго: выплатить 450 тыс. руб. через 8 месяцев. Можно ли считать их равноценными? Примените простую ставку, равную 20% годовых.

22. Долговое обязательство на сумму 320 тыс. руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по учетной ставке 15% годовых. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта? Используйте: а) простую учетную ставку; б) сложную учетную ставку; в) номинальную учетную ставку, начисляемую поквартально.

23. Начальный уровень силы роста δ=8%, процентная ставка непрерывно и экспоненциально увеличивается (годовой прирост 20%, а = 1,2, δ_t= δ·a^t), срок наращения 5 лет. Необходимо опре­делить множитель наращения.

24. Предполагается поместить 300$ на рублевом депозите. Курс продажи, $а на начало срока депозита 24,5 руб. за 1$, курс покупки, $а в конце операции 24 руб. Процентные ставки: рублевая ставка – 11% (i=11%), $овая ставка – 7% (j=7%). Срок депозита 1 год 3 месяца. а) Чему равна сумма в $ах в конце срока? б) Если бы курс в конце операции составил 25 руб., какая была бы тогда сумма? в) Найти наращенную сумму в $ах при $овом депозите. При расчетах используйте смешанный метод (начисление процентов за целое число лет по сложной ставке, за оставшуюся часть года – по простой).

25. Предполагается поместить 300 тыс. руб. на валютном депозите. Курс продажи, $а на начало срока депозита 24,5 руб. за 1$, курс покупки, $а в конце операции 24 руб. Процентные ставки: рублевая ставка – 11% (i=11%), $овая ставка – 7% (j=7%). Срок депозита 1 год 3 месяца. а) Чему равна сумма в рублях в конце срока? б) Если бы курс в конце операции составил 25 руб., какая была бы тогда сумма? в) Найти наращенную сумму в рублях при рублевом депозите. При расчетах используйте смешанный метод (начисление процентов за целое число лет по сложной ставке, за оставшуюся часть года – по простой).

26. Вексель оформлен 9 февраля 1994 г. с датой погашения 9 февраля 1995 г. под простой процент 6% годовых на 150 тыс. руб. 16 ноября 1994 г. вексель был продан банку под 7%-ную ставку процента авансом. а) Какой будет выручка (полученная сумма P)? б) Какую ставку процента реализует банк при такой инвестиции? (Используйте 365/365)

27. Эффективная процентная ставка составляет 10% годовых. Чему равны эквивалентные ставки: 1) процентные: при начислении процентов ежемесячно (j₁₂), ежеквартально (j₄), по полугодиям (j₂), 2) непрерывная ставка (j_∞), 3) дисконтные ставки: эффективная дисконтная ставка (d_сл), при начислении дисконта ежемесячно (d₁₂) ежеквартально (d₄), по полугодиям (d₂), 4) простая процентная ставка (i_пр), 5) простая дисконтная ставка (d_пр).

28. Если деньги стоят j₄=11%, найти одноразовую выплату, эквивалентную серии из 10000 руб., погашаемых через 2 года, и 15000 руб., погашаемых через 5 лет, для настоящего момента времени (t=0).

29. Клиент банка имеет 2 векселя: один - с датой погашения через 3 года на 100 тыс. руб., второй – с датой погашения через 8 лет на 200 тыс. руб. Деньги стоят 13% годовых, начисляемых по полугодиям (j₂=13%). Клиент банка и банк договорились изменить условия контракта: клиент получит 50 тыс. руб. сейчас, остальное – через 5 лет. Сколько получит клиент через 5 лет?

30. Если деньги стоят 12% эффективных, какие равные платежи через 1 год и через 3 года от начального момента времени будут эквивалентно заменяться следующей серией обязательств: выплатить 100 тыс. руб. через 3 года и 200 тыс. руб. с накопленным процентом по ставке j₂=12,5% годовых через 4 года от начального момента времени.

31. Предполагается поместить 1000 у.е. (СКВ) на рублевом депозите. Курс продажи у.е. на начало срока депозита 27 руб. за 1 у.е., курс покупки у.е. в конце операции 26 руб. Процентные ставки: ставка для суммы в рублях – 12% годовых (i=12%), ставка для СКВ – 8% годовых (j=8%). Срок депозита 3 месяца. А) Чему равна сумма в СКВ в конце срока? Б) Если бы курс в конце операции составил 28 руб., какая была бы тогда сумма? В) Найти наращенную сумму в СКВ при депозите в СКВ.