2.8.3. Оптимизация сетевых графиков

Метод критического пути.

Любой путь - это последовательность работ в сетевом графике, в ко­торой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием сле­дующей за ней работы.

Например, в сетевом графике путями являются следующие последова­тельности работ:

2-3,3-4, 4-7 или 2,3,4,7;

8-9 или 8,9;

1-2, 2-3, 3-6, 6-7, 7-9, 9-10 или 1,2,3,6,7,9,10.

Полный путь - это путь от исходного до завершающего события, на­пример 1,2,3,6,7,9,10.

Критический путь - максимальный по продолжительности полный путь.

Подкритический путь это полный путь, ближайший по длительности к критическому пути.

Все работы, лежащие на критическом пути, называют соответственно критическими. На­чальные и конечные события критических работ имеют нулевые резервы со­бытий.

Таким образом продолжительность критического пути соответствует математическому ожиданию срока свершения завершающего события, равного сумме ожидаемых продолжительностей работ, составляющих критический путь. Дисперсия срока наступления завершающего события определяется в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей как сумма дисперсий работ критического пути, а вероятность свершения завершающего события в срок, равный продолжительности критического пути, равна р. (тсв/ткр)=0,5. Если обязательный (директивный) срок установлен меньше продолжительности критического пути, вероятность свершения события к директивному сроку меньше 0,5 и может быть рассчитана с помощью функции распределения нормального отклонения (функции Лапласа) Ф (и)+0,5. Нормальное отклонение "и" равно разности между директивным сроком и продолжительностью критического пути, отнесенной к среднеквадратическому отклонению продолжительности критического пути.

Для поиска критического пути надо выявить все события, имеющие нулевой резерв. В рассматриваемом примере это события 1,2,3,4,7,8,9,10. Но через эти события проходят три пути: 1) 1,2,8,9,10; 2) 1,2,3,4,7,8,9,10; 3) 1,2,3,4,7,9,10.

Непосредственное суммирование длительностей работ этих путей пока­зывает, что путь 1) не является критическим, несмотря на то, что лежащие на нем события имеют нулевой резерв. Отсюда следует вывод, что требование нулевых резервов событий является необходимым, но не всегда достаточным условием критического пути.

Разность между продолжительностью критического пути Т_кр и продолжительностью любого другого пути Tl называется полным резервом времени пути L, то есть:

Rl-T_kp-Tl. (189)

Этот резерв показывает, насколько в сумме может быть увеличена продолжительность всех работ данного пути L, но так чтобы при этом не изменился общий срок окончания всех работ, то есть Т_кр .

R_n(i,j) показывает максимальное время, на которое может быть увеличена продолжительность работы (i,j) или же отсрочено ее начало, чтобы продолжительность проходящего через нее максимального пути не превысила продолжительности критического пути. Важнейшее свойство полного резерва работы (i,j) заключается в том, что если его использовать частично или полностью, то уменьшится полный резерв у работ, лежащих с работой (i,j) на одних и тех же путях. Таким образом, полный резерв времени принадлежит не одной данной работе (i,j), а всем работам, лежащим на путях, проходящим через эту работу.

R_c(i,j) показывает максимальное время, на которое можно увеличить

продолжительность отдельной работы или же отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ, при условии, что непосредственно предшествующее событие наступило в свой ранний срок. Использование свободного времени на одной из работ не меняет величины свободных резервов времени остальных работ сети.

Оптимизация основана на перераспределении ресурсов из резервной зоны в критическую таким образом, чтобы время выполнения всего комплекса стало минимальным. Переброска ресурсов возможна только между работами, у которых время их выполнения полностью или в большей своей части перекрывается. 

Снимая часть персонала или  других ресурсов с резервной работы и  направляя их на критическую работу, мы удлиняем продолжительность  первой работы и сокращаем продолжительность второй.

При выполнении перераспределения ресурсов необходимо учитывать, что из-за ограниченности фронта работ численность исполнителей по отдельно взятой работе никогда не должна возрастать или уменьшаться более чем в 1.5 ... 2 раза.

Оптимизация основана на привлечении дополнительных средств работы критического пути так, чтобы общий срок выполнения работ был равен директивному, а расход дополнительных средств при этом минимален.

Обычно ход оптимизации следующий. Выбирается работа критического пути, у которой коэффициент роста затрат минимален и производится сокращение ее продолжительности до большей из следующих величин:

а) своего минимально-возможного значения;

б) того промежуточного значения, при котором в сетевом графике параллельно данной работе появляется еще одна ветвь также критического пути.

В случае (б) дальнейшее сокращение продолжительности одной работы не ведет к сокращению продолжительности критического пути, так как прежняя ветвь критического пути, проходившая через эту работу, совершенно исчезает.

Теперь придется сокращать одновременно продолжительности двух работ, лежащих на старой и новой ветвях критического пути если окажется, что сумма их коэффициентов роста затрат минимальна.

Можно принять за правило, что претендентами на сокращение продолжительностей могут являтся:

а) одиночные работы, если параллельно им не появляются совершенноновые критические пути в ходе самого сокращения;

б) две и большее число работ одновременно, лежащие на параллельных ветвях критического путей, существующих до начала сокращения работ или появляющихся в ходе такого сокращения.

В этом случае (б) претендентов на сокращение продолжительности подбирают по минимуму коэффициентов роста затрат одиночных работ и сумм коэффициентов работ, лежащих на параллельных ветвях критических путей.

В ходе выполнения комплекса работ занятость работников различной категории чаще всего оказывается неравномерной. Это приводит к завышению потребности в них с одновременным снижением среднего уровня занятости и, как следствие, к перекосами в заработной плате.

Оптимизация основана на сдвиге работ в пределах, имеющихся у них резервов времени, так чтобы, не изменяя общей продолжительности комплекса работ, обеспечить наиболее равномерную занятость работников.

Для приближенного решения этой задачи обычно составляется карта проекта (график перераспределения ресурсов). Каждая работа вычерчивается в определенном масштабе, причем работы критического пути вытягиваются в одну горизонтальную линию. Под стрелкой, изображающей работу, помещается в виде висящего флажка набор чисел, указывающих численность работников каждой категории, занятых выполнением данной работы. Резерв времени работы некритического пути можно показывть пунктирной линией. В исходной карте проекта все работы начинаются в свои ранние сроки.

Под картой проекта в масштабе строятся диаграммы занятости работников соответствующих категорий, причем части графиков, изображающие занятость на работах критического пути, заштриховываются.

Перемещая те или иные резервные работы вправо по оси времени на некоторую часть или полную величину их резерва времени, следует добиться максимального сглаживания пиков численности работающих каждой категории на всех диаграммах и тем самым получить более равномерную занятость работников.

2.9.1. Модели финансовой математики.

Под финансовой математикой понимаются модели и алгоритмы

 финансовых расчетов. Базовая финансовая операция это кредитование. Субъекты банковског рынка заключают сделку: кредитор выдает заемщику ссуду с обязательным условием, что в установленный срок заемщик вернет кредитору ссуду с наращением (процентами).

Итак обозначим:

P - ссуда;

S – ссуда с наращением (с процентами);

I – процент;

I = S – P; (190)

i = = – годовая ставка процента, в данном случае это ставка наращения.

Обратим внимание на некоторую некорректность названия величины I – «процент». На самом же деле I – это величина наращения ссуды и она измеряется в денежных единицах, а не в процентах. Но уж такова традиционная терминология финансовых операций: сумма наращения называется процентом или процентами.

Обычно при кредитовании предметом договора являются величина ссуды P и годовая процентная ставка i , а ссуда с наращением S является функцией P и i. Выразим S через P и i.

S = P(1 + i ). (191)

Приведенная нами формула для S справедлива только при годовом сроке ссуды. Для любого другого срока в формулу нужно ввести время.

Традиционно в финансовых расчетах время измеряется в годах, а процентная ставка берется годовая, хотя на практике возможны и другие измерители времени – квартал, месяц, и даже день, на которые может 

устанавливаться ставка. Все эти условия оговариваются в договоре о предоставлении кредита.

Ссуда может выдаваться на любой срок, с любой даты, и по любую дату. Первый и последний дни обычно считаются за один день. Правда в разных странах бывает по разному.

Обозначим:

t – срок ссуды в днях;

T – количество дней в году;

n = – срок ссуды в годах.

Величины t и T могут определяться точно по календарю, либо приближенно (округленно). В последнем случае принимается, что год состоит из 12 месяцев по 30 дней в каждом из них. Первый способ

обозначается (365/365), а второй - (360/360). Возможны и перекрестные

способы. В любом случае при получении ссуды нужно предварительно убедиться, каким способом определяется срок ссуды, так как от этого зависит величина процентов.

Величина процентов зависит от величины ссуды, процентной ставки и срока ссуды. Принято различать простые и сложные проценты. Простыми называют проценты, которые являются линейной функцией от времени. Сложные же проценты являются показательной функцией от времени, где время входит в показатель степени.

Итак простые проценты:

Выше нами была приведена формула наращения для случая, когда ссуда выдана точно на год:

S = P(1 + i). (192)

Выведем формулу наращения для любого произвольного срока ссуды, измеренного в годах

S1, S2, S3 – ссуда с наращением за 1, 2 и 3 года соответственно будет.

S1 = P(1 + i) = P + Pi = P + I1. (193)

Применим метод индукции.

S2 = P(1 + 2i); S3 = P(1 + 3i). (194)

Очевидно, что за n лет Sn = P(1 + ni). (195)

In = Pni – проценты за n лет.

Очевидно, что проценты являются линейной функцией времени.

Формулы для вычисления Sn и In были выше написаны для целого числа лет n.

Нам уже очевидно, что они будут справедливы и для любых дробных

значений n как меньше, так и больше.

1. Например, нужно вычислить проценты за месяц по

приближенному методу (360/360).

Тогда n= и Iмес. = Pi/12. Соответственно проценты за день по методу (360/360)

равны Pi / 360. Во всех формулах i – годовая ставка процента.

При значительных сроках ссуды иногда принято применять так называемую переменную ставку – напр., когда предполагают изменение темпа инфляции в будущем. Выведем формулу для наращенной ссуды для этого случая.

Обозначим:

t = 1,...,m – номера временных интервалов с различными процентными ставками; nt – продолжительность t–го интервала в годах;

it – годовая ставка наращения в t–ом интервале.

S = P (1 + n1i1 + ... + nmim) = P (1 + ). (194)

Возврат ссуды с процентами может осуществляться один раз в конце срока ссуды, либо частями в течение этого срока. В последнем случае необходимо рассчитывать величину самого последнего платежа. Для этого используют два метода, которые называются - актуарный и метод торговца.

Обозначим:

Р – ссуда;

t = 1,...,m – номера платежей;

nt – срок t-го платежа в годах от момента получения ссуды;

n – срок ссуды;

i – годовая ставка наращения;

St – сумма долга, накопленная к t-му платежу;

Rt – величина t-го платежа;

Pt – остаток долга после t-го платежа.

Формулы для вычислений:

St = Pt-1(1 + ( nt – nt-1) i ); (195)

Pt = St - Rt. (196)

Вычисляя абсолютно все величины последовательно от t = 1

до m, определяем величину последнего платежа:

Rm = Sm = Pm-1 (1 + (n – nm-1) i). (197)

В любой момент накопленный долг состоит из двух частей: оставшаяся не возмещенной часть ссуды Р. и накопленные и непогашенные проценты.

Если очередной платеж меньше накопленных и непогашенных процентов, то уменьшение суммы долга не производится, а сумма платежа присоединяется к следующему платежу.

Тогда обозначим:

P – ссуда;

S – ссуда с процентами, S = P(1 + ni);

n – срок ссуды;

t = 1,...,m – номера промежуточных платежей;

Rt – величина t-го промежуточного платежа;

nt – срок t-го промежуточного платежа;

R – заключительный платеж.

Идея же метода торговца заключается в следующем. Пусть в срок nt осуществлен некий промежуточный платеж Rt. На оставшееся до конца срока ссуды время, равное (n-nt), начисляются проценты, и к концу срока ссуды сумма промежуточного платежа с процентами составит:

St = Rt (1 + (n – nt) i). (199)

Если таких платежей было m, то к концу срока ссуды накопится сумма платежей с процентами. Очевидно, что заключительный платеж R должен дополнять накопленную сумму платежей с процентами до величины ссуды с накопленными по ссуде процентами.

S = ;

Заменив S и на их значения, получим

P(1 + ni) = (1 + (n - nt) i) + R. (200)

Отсюда получим величину заключительного платежа:

R = P(1 + ni) - (1 + (n - nt) i). (201)

Сопоставим идеи лежащие в основе двух рассмотренных методов 

промежуточных платежей по ссуде. В актуарном методе каждый 

платеж уменьшает сумму долга, проценты продолжают начислять на оставшийся долг. В методе торговца каждый платеж не уменьшает суммы долга, но на него начисляются проценты. В конце срока ссуды при заключительном платеже сумма накопленного долга и сумма накопленных платежей должны сравняться. 

Теперь рассмотрим дисконтирование (учет). До сих пор рассматривалась  процедура наращения: выданная ссуда Р с течением времени наращивалась процентами и превращалась в ссуду с процентами S. Ставка наращения определялась отношением процентов за год I к ссуде Р.

В банковском деле применяется также процедура дисконтирования (учета), которая появилась в свое время из операции учета векселей.

Вексель это обязательство вернуть указанную в векселе сумму (номинал векселя, обозначим его S), в указанный срок. Если держатель векселя (его собственник в данный момент) желает обменять вексель на деньги, он обращается в банк с предложением учесть имеющийся у него вексель, то есть купить его за сумму Р., меньшую, чем номинал S. Такая сделка была названа дисконтированием, а сумма скидки с номинала – дисконтом. Обозначим: S – номинал векселя;

1 год – срок действия векселя;

D – дисконт, то есть скидка с номинала при учете векселя;

Р. – цена векселя, то есть сумма денег, которую получит продавец векселя при его учете.

D = S-P или P = S-D. (201)

Легко заметить, что схема дисконтирования очень похожа на схему наращения.

Величины Р. и S, D и I совпадают. Разница заключается в том, что в схеме наращения в основу расчетов положена выдаваемая ссуда Р., а вычисляется возвращаемая ссуда с процентами S, при дисконтировании же в основу положен номинал векселя S (то есть возвращаемая сумма), а рассчитывается сумма денег Р.,  которую получит продавец векселя.

Обозначим: d – учетная ставка,

Еще одно отличие процедур учета и наращения. При наращении ставка i считается на величину ссуды Р., а при дисконтировании учетная ставка d считается на номинал векселя S.

Сопоставим:

i = ;

d = ;

Очевидно, что при одинаковых величинах S и Р. учетная ставка будет меньше ставки наращения. Запишем формулу расчета Р при известных S и d.

P = S(1- d). (202)

Эта формула справедлива при годичном сроке векселя. Пусть срок действия векселя n лет, где n – неотрицательное число, в том числе дробное. Формула для расчета Р. примет вид:

P = S(1-nd). (203)

Видно, что n и d могут быть такими, что может оказаться

nd > 1 и Р станет меньше нуля. Это, конечно же, невозможно: никто не согласится отдать вексель, да еще уплатить за это сумму, равную S(nd-1). Поэтому дисконтирование применяют так, чтобы было 1 > nd > 0.

Номинальная и реальная ставки процента

Пусть ссуда P выдана под ставку процента i на год. Через год нужно вернуть эту ссуду с процентами

S=P(1 + i). (204)

Если имеет место инфляция с темпом j, то за год величина S обесценится.

Обозначим:

Sн – номинальная ссуда с процентами;

Sр – реальная ссуда с процентами, т.е. покупательная способность Sн;

r – реальная ставка процента;

i – номинальная ставка процента;

j – темп инфляции.

С учетом принятых обозначений, формулы наращения примут вид:

Sн = P(1 + i); (205)

SP = P(1 + r); (206)

Sн = SP (1 + j) = P(1 + r)(1 + j). (207)

Последнюю формулу нужно понимать так: ссуда Р за год реально выросла по ставке r а за счет инфляции по темпу инфляции j. Вместо Sн подставим это ее значение:

P(1 + i) = P(1 + r) (1+ j) или (1 + i) = (1 + r)(1 + j) (208)

Произведя нобходимые преобразования, получим:

Это и будет точная формула расчета реальной ставки процента по известным величинам номинальной ставки процента и темпу инфляции. При низких темпах инфляции обычно применяют приближенную формулу r = i - j. При значительной инфляции нужно применять точную формулу.

Конверсия валюты

Под конверсией валюты понимается перевод финансовых активов из одной валюты в другую, - например - перевод рублей в доллары или наоборот. В банке можно хранить деньги на рублевом или валютном вкладе. Что же выгоднее? Обычно, процентные ставки по рублевым счетам выше, чем по валютным. Это обычн связано с тем, что рубли обесцениваются в связи с инфляцией быстрее, чем доллары, евро и другие. Конечно ответ на вопрос, в какой валюте выгоднее хранить деньги в банке, зависит от процентных ставок по рублевому и валютному вкладам, а также от темпа изменения курса национальной валюты.

Вся операция рассчитана на год. А, В, С, D – различные состояния во время операции.

Стрелка АВ – хранение денег на рублевом вкладе.

АС – конверсия рублей в доллары, то есть продажа банком долларов вкладчику.

CD – хранение денег на валютном вкладе.

DB – конверсия долларов в рубли.

РP– сумма вклада в рублях.

Р – сумма вклада в долларах.

SP – рублевая сумма вклада с наращением (с процентами) через 

год. Итак:

S – долларовый вклад с процентами через год.

i – годовая ставка процента по рублевому вкладу.

v – годовая ставка процента по валютному вкладу.

bпр – курс продажи на момент вклада, то есть цена по которой банк продает доллары за рубли.

bпок – курс покупки через год, то есть цена, по которой банк покупает доллары.

Итак формулы для расчета результатов операций.

SP=PP(1 + i) (209)

– результат хранения денег на рублевом вкладе в течение года.

– результат первоначальной конверсии рублей в доллары по курсу bпр.

Sд=Рд(1 + v) (210)

– результат хранения денег на валютном вкладе в течение года.

SP=Sд·bпок (211)

– результат конверсии долларового вклада с процентами в рубли.

Определим условия эквивалентности хранения денег на рублевом и валютном вкладе:

и в этом случае результат хранения должен быть одинаковым.

Теперь перейдем к сложным процентам.

Если ссуда выдана на некоторый срок и проценты начисляются один раз в конце этого срока, то простые и сложные проценты не различаются, наращенная ссуда будет одной и той же. Эффект сложных процентов возникает тогда, когда срок ссуды разбит на несколько интервалови в конце каждого интервала начисляются проценты и они присоединяются к сумме, накопленной на начало интервала.

Простые проценты начисляются на начальную величину ссуды, сложные – на ссуду с наращением на момент начисления процентов, когда ссуда выдана на целое число лет, а сложные проценты начисляются раз в год.

Обозначим:

Р – ссуда;

j – годовая ставка сложных процентов;

n – номер года;

Sn – наращенная ссуда в конце года n;

S1=P( 1+j); (212)

S2=S1(1+j)=P(1+j)2. (213)

Формула выведена для целого n, но она справедлива для любого не отрицательного действительного числа n. Например, за полгода, за квартал.

В банковской практике начисление сложных процентов по депозитам производится несколько раз в год – за месяц, квартал, полугодие. При этом по ставке за интервал нужно вычислять годовую доходность и наоборот, - по годовой ставке процента определять эквивалентную по доходу ставку на интервал менее года.

Обозначим:

m – число интервалов в году;

t – номер интервала;

Р – ссуда;

St – ссуда с наращением в конце интервала t;

j – годовая эффективность ссуды;

g – ставка сложных процентов на интервал.

Чтобы ставки j и g были равноэффективны, необходимо, чтобы выполнялось равенство:

P(1+j)=P(1+g)m; (214)

или

(1+j)=(1+g)m. (215)

Отсюда по ставке процента за интервал можно вычислить равноэффективную ставку за год.

j=(1+g)m – 1. (216)

И наоборот, – по годовой ставке процента можно вычислить равноэффективную ставку сложных процентов за интервал.

По индукции:

Sn=P(1+j)n. (217)

Теперь перейдем к основным понятиям известной теории портфеля.

Введем основные понятия - ожидаемая доходность актива (портфеля) – отношение дохода, который планирует получить инвестор от вложений своих средств в этот актив (портфель) через некоторый отрезок времени, к сумме первоначально вложенного им капитала, исходя из оценок вероятности его получения в желаемом размере.

Она определяется как математическое ожидание случайной величины, то есть как среднее арифметическое фактических доходностей данного актива за ряд наблюдений в прошлые периоды либо как сумма значений доходности, взвешенных по априори определенным значениям вероятности их получения.

То обстоятельство, что доход, ожидаемый от приобретения инвестором различных видов активов, всегда является случайной величиной, и обуславливает существование такой категории, как риск.

Риск актива или портфеля – это вероятность неполучения ожидаемой доходности, степень отклонения фактически полученной доходности от ожидаемой. Она определяется как дисперсия или стандартное отклонение случайной величины.

Область выбора инвесторов (допустимое множество портфелей) – множество всех возможных комбинаций активов, составляющих портфель.

Эффективная область выбора инвестора (эффективное множество портфелей) - множество портфелей, обеспечивающих одновременно максимально возможные значения доходности и риска.