2.7.3. Использование метода Монте Карло для систем массового обслуживания

Повторимся - сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение, а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают какую то случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М (Х)=а.

Практически чаще всего поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое и принимают в качестве оценки (приближённого значения) a^* искомого числа a:

. (137)

Напомним, что поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний.

Итак пусть необходимо получить значения случайной величины , распределенной в интервале с плотностью . Давайте докажем, что значения можно найти из уравнения

, (138)

где – случайная величина, равномерно распределенная на интервале . То есть, выбрав очередное значение надо решить уравнение и найти очередное значение . Для доказательства рассмотрим функцию:

(139)

Имеем общие свойства плотности вероятности:

(140)

Из формул следует, что , а производная .

Значит, функция монотонно возрастает от 0 до 1. И любая прямая , где , пересекает график функции в единственной точке, абсциссу которой мы и принимаем за . Таким образом, уравнение всегда имеет одно и только одно решение.

Выберем теперь произвольный интервал , содержащийся внутри . Точкам этого интервала отвечают ординаты кривой, удовлетворяющие неравенству . Поэтому, если принадлежит интервалу , то

принадлежит интервалу , и наоборот. Значит: . Так как равномерно распределена в , то

, а это как раз и означает, что случайная величина , являющаяся корнем уравнения и имеет плотность вероятностей .

Простейшим потоком (или потоком Пуассона) в СМО называется такой поток заявок, когда промежуток времени между двумя последовательными заявками есть случайная величина, распределенная на интервале с плотностью

(141)

Вычислим математическое ожидание: (142)

После интегрирования по частям, получим:

. (143)

Параметр есть интенсивность потока заявок.

Формулу для розыгрыша мы получим из уравнения, которое в данном случае запишется так: . (144)

Вычислив интеграл, стоящий слева, мы получим соотношение . Отсюда, выражая , получим:

(145)

Так как величина распределена также как и , следовательно, формулу можно записать в виде:

(146)

Пусть исследуемое предприятие представляет собой двухканальную систему массового обслуживания с ограниченной очередью. На вход информации поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивности обслуживания заявок каждым из каналов μ, а максимальное число мест в очереди m.

Начальные параметры такие:

Время обслуживания заявок тогда имеет эмпирическое распределение, указанное ниже и имеет среднее значение .

Были проведены контрольные замеры времени обработки заявок, поступающих в данную СМО. Чтобы приступить к исследованию, необходимо установить по этим наблюдениям закон распределения времени обработки заявок.

Таблица 15. – Группировка заявок по времени обработки

Количество заявок	22	25	23	16	14	10	8	4
Время обработки, мин	0–5	5–10	10–15	15–20	20–25	25–30	30–35	35–40

Нами выдвигается гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы, при уровне значимости качественно проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, каждый i – й интервал заменяем его серединой и составляем последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2) Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, которая обратна выборочной средней:

(148)

3) Найти нужные вероятности попадания X в частичные интервалы по формуле:

(149)

4) Потом вычислить теоретические частоты:

, (150)

где - объем выборки

5) Сравнить эмпирические и теоретические частоты можно с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где S – число интервалов первоначальной выборки.

Таблица 16. – Показывает группировку заявок по времени обработки с усредненным временным интервалом 

Количество заявок	22	25	23	16	14	10	8	4
Время обработки, мин	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5	37,5

Н

Теперь найдем выборочную среднюю:

Рисунок 104.

2) Примем в качестве оценки параметра λ экспоненциального распределения величину, равную . Тогда получим:

( ) (151)

3) Теперь найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

(152)

Для первого интервала:

(153)

Для второго интервала:

(154)

Для третьего интервала:

(155)

Для четвертого интервала:

(156)

Для пятого интервала:

(157)

Для шестого интервала:

(158)

Для седьмого интервала:

(159)

Для восьмого интервала:

(160)

4) Вычислим теоретические частоты:

(161)

Эти результаты вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

Для этого надо вычислить разности , их квадраты, затем отношения . (162)

Суммируя значения последнего столбца, находим нужное нам наблюдаемое значение критерия Пирсона. По таблице критических точек распределения при уровне значимости и числу степеней свободы находим эту критическую точку

Таблица 17. – Результаты вычислений следующие:

i
1	22	0,285	34,77	-12,77	163,073	4,690
2	25	0,204	24,888	0,112	0,013	0,001
3	23	0,146	17,812	5,188	26,915	1,511
4	16	0,104	12,688	3,312	10,969	0,865
5	14	0,075	9,15	4,85	23,523	2,571
6	10	0,053	6,466	3,534	12,489	1,932
7	8	0,038	4,636	3,364	11,316	2,441
8	4	0,027	3,294	0,706	0,498	0,151
	122

Так как , то у нас нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений вполне согласуются с этой гипотезой.

Очевидно, что данная система представляет собой частный случай системы гибели и размножения.

Граф данной системы:

Рисунок 105. – граф состояний исследуемой СМО

Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, то определенно существует предельное распределение вероятностей состояний. Как мы знаем стационарных условиях поток, входящий в данное состояние должен быть равен потоку, выходящему из данного состояния.

(163)

Тогда для состояния S₀:

(164)

Следовательно:

(165)

Тогда для состояния S₁:

(166)

Следовательно:

(167)

С учетом того, что :

(168)

(169)

Аналогичным образом получаем уравнения для остальных состояний системы. В результате чего получим систему уравнений:

Рисунок 106.

Тогда решение этой системы будет иметь вид:

; ; ; ; ;

; .

Рисунок 107.

Или,

; ; ; ; ; ;

.

Рисунок 108.

Тогда коэффициент загруженности СМО:

Рисунок 109.

С учетом этого предельные вероятности перепишем в виде:

Рисунок 110.

Наиболее вероятные состояния – оба канала СМО заняты и также заняты все места в очереди.

Тогда вероятность образования очереди:

(170)

Отказ в обслуживании заявки происходит тогда, когда все m мест в очереди заняты, то есть:

(171)

Тогда относительная пропускная способность равна:

(172)

Отсюда вероятность того, что вновь поступившая заявка будет обслужена, равна 0,529

Следовательно, абсолютная пропускная способность:

(173)

СМО обслуживает в среднем 0,13225 заявок в минуту.

Тогда среднее число заявок, находящихся в очереди будет равно:

(174)

Среднее число заявок в очереди очень близко к максимальной длине очереди.

Среднее число заявок, обслуживаемых в нашем СМО, может быть записано в виде:

(175)

Тогда очевидно, что в среднем все каналы СМО постоянно заняты.

А среднее число заявок, находящихся в СМО:

(176)

Для открытых СМО будут справедливы формулы Литтла:

Тогда среднее время пребывания заявки с СМО:

(177)

А среднее время пребывания заявки в очереди:

(178)

Скорее всего, наиболее вероятное состояние данной СМО – занятость всех каналов и мест в очереди. Очевидно, что приблизительно половина всех поступающих заявок покидают СМО необслуженными. Приблизительно 66,5% времени ожидания падает на ожидание в очереди. Оба канала всегда заняты. Все это говорит о том, что данная схема СМО может быть признана полностью неудовлетворительной.

Чтобы понизить загрузку каналов, сократить время ожидания в очереди и снизить вероятность отказа необходимо увеличить число каналов и ввести систему приоритетов для заявок. Число каналов будет целесообразно увеличить примерно до 4. Также желательно сменить дисциплину обслуживания с FIFO на систему с приоритетами. Все заявки тогда будут иметь принадлежность к одному из двух приоритетных классов. Заявки I класса имеют относительный приоритет по отношению к заявкам II класса. Для расчета основных показателей такой видоизмененной СМО целесообразно применить какой-либо из методов имитационного моделирования.

Пользователю при работе с программой на компьютере необходимо задать основные параметры СМО, такие как интенсивности потоков, количество каналов, приоритетных классов, мест в очереди (если количество мест в очереди равно нулю, то СМО с отказами), а также временной интервал модуляции и количество испытаний. Программа преобразовывает сгенерированные случайные числа, таким образом, пользователь получает последовательность временных интервалов , распределенных показательно. После чего отбирается заявка с минимальным , и ставится в очередь, согласно ее приоритету. За то же время происходит перерасчет очереди и каналов. Затем эта операция будет повторяется до окончания времени модуляции, задаваемого изначально. В исзодном теле программы присутствуют счетчики, на основании показаний которых и формируются основные показатели СМО. Если для увеличения точности было задано несколько испытаний, тогда в качестве конечных результатов принимается оценка за серию опытов. Такие программы достаточно универсальны, с их помощью могут быть исследованы СМО с любым количеством приоритетных классов, либо вообще без приоритетов. Для проверки корректности работы алгоритма, в него водят такжк исходные данные классической СМО, изложенная выше. Программы моделируют результаты близкий к тому, который получаются с помощью методов теории массового обслуживания. Погрешность же возникающая в ходе имитационного моделирования, может быть объяснена тем, что проведено недостаточное количество испытаний. Результаты, полученные с помощью программ для СМО с двумя приоритетными классами и увеличенным числом каналов, показывают целесообразность этих изменений.

Высший приоритет присвавается более «быстрым» заявкам, что позволяет быстро обследовать короткие задания. Сокращается средняя длина очереди в системе, а соответственно минимизируется средство для организации очереди. В качестве основного недостатка данной организации можно выделить то, что «долгие» заявки находятся в очереди длительно время или вообще получают отказ. Введенные приоритеты могут быть переназначены после оценки полезности того или иного типа заявок для СМО.

2.8.1. Понятие и сущность сетевого планирования и управления.

Методы сетевого планирования и управления (СПУ), разработанные в начале 50-х годов, широко и успешно применяются для оптимизации планирования и управления сложными взаимосвязанными и разветвленными комплексами работ, требующими участия большого числа исполнителей и затрат ограниченных ресурсов.

Все началось в 1956 году, когда М. Уолкер из фирмы Дюпон, исследуя возможности использования более эффективного использования принадлежащей фирме вычислительной машины Univac, обьеденил свои усилия с Д. Келли из группы планирования капитального строительства. В результате был создан так называемый Метод Критического Пути – МКП (или CPM – Critical Path Method).

Параллельно и независимо от них в военно-морских силах США был создан метод анализа и оценки программ PERT (Program Evaluation and Review Technique). Этот метод был разработан корпорацией Локхид при планировании и управлении разработкой ракетной системы Поларис, которая объединяла около 3800 основных подрядчиков и 60000 операций. В результате применения этого метода все работы были закончены на два года раньше срока, а метод был засекречен на уровне военной тайны США.

Конечно в настоящее время для оптимизации сложных сетей, состоящих из нескольких сотен или тысяч работ, вместо ручного счета применяется типовые макеты прикладных программ по СПУ (сетевое планирование и управление), имеющиеся в составе программного и математического обеспечения вычислительной техники.

Основными и исходными понятиями сетевых моделей являются понятия - события и работы.

На графике отражаются «работы» и «события». Каждое событие отражает т завершение или начало работы, а работа означает действие, которое нужно совершить, чтобы перейти от предшествующего события к последующему. События на графике обозначаются кружками, а работы — стрелками, показывающими связь между событиями (возможен, но редко и другой вариант: работы изображаются кружками, а связи между ними стрелками). Работа должна быть конкретно определена, четко описана и иметь ответственного исполнителя, продолжительность её измеряется количеством времени, а также работа связана с использованием ресурсов. Временные оценки даются экспертами или ответственными исполнителями соответствующих работ. Все работы в графике ведут к конечному событию — цели планирования откуда не выходит никаких работ.

Таким образом - работа - это некоторый процесс, приводящий к достижению опреде-ленного результата и требующий затрат каких-либо ресурсов, и имеет протяженность во времени.

По своей физической природе любые работы можно рассматривать как:

• действие: например - изготовление деталей, заливка фундамента, составление заявки на материа­лы, наблюдение и изучение конъюнктуры рынка и т.д.;

• процесс: например - старение отливок, выдерживание вина в бочках, травление плат и т.д.;

- ожидание: например - ожидание поставки комплектующих, прослеживание детали в очереди к станку, ожидание результатов проверок и тому подобное.

По количеству затрачиваемого времени работа, делится на:

• действительную, т.е. требующей затрат времени;

• фиктивную, не требующей затрат времени и представляющей связь

между какими-либо работами и технологически необходимой: например - передача измененных чертежей от конструкторов к технологам, детали с одного рабочего места на другое, сдача отчета в налоговую инспекцию или отчета о технико-экономических показателях работы цеха вышестоящему подразделению.

Событие - момент времени, когда полностью завершаются одни работы и начина­ются другие. Событие представляет собой результат проведенных работ и в отличие от работ не имеет протяженности во времени. Например, фундамент залит бетоном, старение отливок завершено, комплектующие поставлены, отчеты сданы и так далее.

Заданный комплекс работ упорядочивается в их логической последовательности с выделением различных групп работ, которые могут и должны выполняться параллельно. Для таких групп работ могут составляться частные сетевые графики, которые затем обьединяются в единый сводный сетевой график. В целях уменьшения общего времени для каждой работы проверяется возможность переноса ее начала ближе к исходному, а конца ближе к завершающему событиям сетевого графика и при наличии такой возможности перестроить сетевой график.

Таким образом, начало, и окончание любой работы отражаются парой событий, которые называются начальным и конечным событиями. Поэтому для идентификации конкретной работы используют код работы (i,j), состоящий из номеров начального (i-ro) и конечного (j-го) событий, например (2,4) или 3 – 8 или 9 , 10 или работа i,j

На этапе структурного планирования взаимосвязь работ и событий

изображаются с помощью сетевого графика, где работы изображаются

стрелками, которые соединяют вершины, изображающие события. Работы,

выходящие из некоторого события не могут начаться, пока не будут завершены абсолютно все операции, входящие в это событие.

Рисунок 111.

Событие, не имеющее предшествующих ему событий, то есть с которого начинается проект, называют исходным событием или истоком сетевой модели. Событие, которое не имеет последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется за­вершающим или стоком сети.

Рисунок 112.

Итак при построении сетевого графика необходимо следовать следующим правилам:

■ длина стрелки никак не зависит от времени выполнения работы;

Рисунок 113

• стрелка совсем не обязательно должна представлять прямолинейный отрезок;

Рисунок 114.

■ для действительных работ обычно используются сплошные, а для фиктивных пунктирные стрелки;

Рисунок 115.

• каждая операция должна быть представлена обязательно только одной стрелкой;

• категорически не должно быть параллельных работ между одними и теми же событиями, для избежания такой ситуации используют фиктивные работы;

Рисунок 116.

/\

- следует избегать пересечения стрелок;

Рисунок 117.

• не должно быть стрелок, направленных справа налево;

Рисунок 118.

■ очевидно, что номер начального события должен быть меньше номера конечного события;

Рисунок 119.

• не должно быть «висячих» событий, кроме исходного;

Рисунок 120.

• 

  • не должно быть «циклов».

  не должно быть «тупиковых» событий.

Рисунок 121.

Поскольку работы, входящие в проект, логически связаны друг с другом, то необходимо всегда перед построением сетевого графика дать ответы на следующие вопросы:

1. Какие работы необходимо завершить непосредственно перед началом рассматриваемой работы?

2. Какие работы должны непосредственно следовать после завершения данной работы?

3. Какие операции могут выполняться одновременно с рассматриваемой работой?

Применение методов сетевого планирования и управления, в конечном счете, должно обеспечить получение оптимального календарного плана, определяющего сроки начала и окончания каждой операции (работы). Построение сети является лишь первым, но важным шагом на пути к достижению этой цели. Вторым шагом является собственно расчет сетевой модели, который выполняют прямо на сетевом графике, пользуясь простыми правилами.

К временным параметрам событий относятся:

• ранний срок наступления события i - Т_р (i);

• поздний срок наступления события i - Т_п(i); •

• резерв времени наступления события i - R(i).

Tp(i) - это время, необходимое для выполнения всех работ, предшествующих данному событию i.

T_n(i) - это такое время наступления события i, превышение которого

вызовет такую же задержку наступления завершающего события сети.

R(i) - это такой промежуток времен, на который может быть отложено

наступление этого события без на рушения сроков завершения разработки в целом.

Значения временных параметров принято записывать прямо в вершины на сетевом графике следующим образом.

Рисунок 122.

Иногда, если сеть небольшая временные характеристики записываются около кружков и стрелок.