Теперь вернемся к процессам рождения (размножения) и гибели

Так называется широкий класс случайных процессов, происходящих в системе, размеченный граф состояний которой изображен на рис.100 .

Рисунок 100 – Граф состояний для процессов гибели и размножения

Здесь величины , ,…, – интенсивности переходов системы из состояния в состояние слева направо, можно интерпретировать как интенсивности рождения (возникновения заявок) в системе. Аналогично, величины , ,…, – интенсивности переходов системы из состояния в состояние справа налево, можно интерпретировать как интенсивности гибели (выполнения заявок) в системе.

Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, существует (в силу теоремы 2) предельное (финальное) распределение вероятностей состояний. Получим формулы для финальных вероятностей состояний системы.

В стационарных условиях для каждого состояния поток, входящий в данное состояние должен равняться потоку, исходящему из данного состояния. Таким образом, имеем:

Для состояния S₀:

(119)

Следовательно:

(120)

Для состояния S₁:

(121)

Следовательно:

(122)

С учетом того, что :

(123)

(124)

Аналогично можно получить уравнения для остальных состояний системы. И наконец в результате получим систему уравнений:

Рисунок 101

Тогда решение этой системы будет иметь вид:

(125)

, ,…, (126)

2.7.1. Имитационное моделирование и метод статистических испытаний

Экономико -математическая (чаще компьютерная) имитационная модель позволяет проводить исследования кото­рой проводится экспериментальными методами. Термин введён в начале 1960-х годов, его границы довольно широки и поэтому не слишком чётко определены.

Появление имитационного моделирования связано с так называемой «новой волной» в экономико-ма­тематическом моделировании. К этому времени проблемы экономической нау­ки и практики в сфере управления и экономического образова­ния, с одной стороны, и рост производительности компьютеров, с другой, вызвали потребности расширить рамки «классических» экономико-математических методов. Наступил даже момент некоторого ра­зочарования в возможностях нормативных, балансовых, опти­мизационных и теоретико-игровых моделей, поначалу заслу­женно привлёкших к себе тем, что они вносят во многие проб­лемы управления экономикой обстановку логической ясности и объективности и непосредственно приводят к «разумному» (сбалансированному, оптимальному, компромиссному и тому подобному) решению.

Выявился широкий класс проблем, в которых эти модели, в силу определенного абстрагирования, не улавливают существенных явлений реальности. Не всегда, например, удаётся полностью осмыслить априорные цели и, тем более, формализовать критерий оптимальности и (или) огра­ничения на допустимые решения. Поэтому многие попытки всё же применить такие методы стали приводить к получению неприемлемых, или даже нереализуемых (хотя и оптималь­ных) решений. Преодоление возникших затруднений пошло даже по пути отказа от полной формализации (как это делается в нор­мативных моделях) процедур принятия социально-экономиче­ских решений. Предпочтение стало отдаваться разумному синтезу интеллектуальных возможностей эксперта (экспертные оценки) и информаци­онной мощи компьютера (см. Диалоговая система). Одно течение в этом направлении — переход к «полунормативным» многокритериальным человеко-машинным моделям; второе — перенос центра тяжести с прескриптивных моделей, ориентиро­ванных на схему «условия — решение», на дескриптивные моде­ли, дающие ответ на вопрос, «что будет, если...?» (см. Система поддержки принятия решений).

Первый признак такого имитационного моделирования — ориентированность на такую схе­му. В ходе экспериментов с имитационными моделями эксперты задают машинному комплексу вопросы, а встроенная в машину модель доставляет ответы; эксперты их анализируют и форми­руют знания, суждения, решения. Вторая особенность имитационного моделирования — более подробное, чем в классических моделях, отображение структуры прототипа в структуру модели, использующее бога­тые и гибкие возможности информационных технологий и современных средств организации и обработки данных. В этом — отличие современных имитационных моделей от дескриптивных эконометрических моделей, хотя, конечно, последние можно рассматривать как частный случай имитационных моделей.

Эконометрическая модель устроена как «чёрный ящик» и не отображает внутренних связей в прототипе. Её параметры оцениваются в результате статистической обработки данных наблюдений за действительностью. Может оказаться, что эти оценки верны только в условиях конкретного действующего экономического механизма, и для анализа явлений, которые могут возникнуть в условиях проектируемого эконо­мического механизма, более или менее существенно отличаю­щегося от действующего, модель становится непригодной. Но именнл изучение свойств экономических механизмов, радикально от­личных от прежних, особенно актуально. Если конструктор модели вынужден по такой причине отказаться от моделирова­ния непосредственно «в лоб», он пытается понять и отобразить внутренние при­чинно-следственные связи и механизмы и для этого предста­вить модель в виде совокупности «атомов» — компонентов, для каждого из которых он способен построить правдоподоб­ную модель и все существенные отношения, между которыми он способен правдоподобно отобразить. Такой способ приво­дит к более правдоподобной модели — особенно, если в качестве компонентов модели выбирать модели компонентов системы-прототипа (предприятия, цеха, банки, регионы, транспортные сети, органы управления, группы населения и тому подобное).

Усложне­ние структуры имитационной модели вызывается также стремлением использо­вать её в качестве средства проверки «доброкачественности» ре­шений, формируемых экспертом или нормативной (то есть более простой) моделью. Для моделирования первичных структурных единиц («атомов») часто приходится привлекать и классические подходы. Так, для отображения технологических процессов уместно использовать эконометрические промышленные и сельскохозяйственные производственные функции, которые явно не за­висят от механизма управления производством. Для постро­ения функций спроса могут быть использованы оптимизацион­ные модели, так как здесь критерий оптимальности и ограниче­ния формулируются вполне обоснованно.

Третья особенность имитационной модели состоит в том, что это, как правило, не «слайд» как, скажем, статическая модель межотраслевого ба­ланса, в которой разновременные события «склеены» в одномо­ментные, а скорее, «слайд шоу», отображающее функционирова­ние прототипа в виде смен состояний модели в последовательные моменты и — в этой связи — появление разных способов моде­лирования времени. Эта особенность родилась из отмеченной выше потребности не только получить подходящие решения (роль нормативной модели на этом завершается и ей это удается), но и вклю­чить в модель компоненты, отображающие отклик системы на принятые решения — в виде показателей её функционирова­ния. Классическую динамическую балансовую модель и её раз­новидности можно вполне рассматривать как частный, «вырожден­ный» случай имитационной модели. Хотя функционирование и моделируется, но моменты производства, распределения и потребления ре­сурсов сводятся всего в один. В результате чего модель слишком уж жёстко описывает важные явления, связанные с разными рит­мами производств поставщиков и потребителей, а также последствия срывов договоров поставки. В «невырожденных» имитационных моделях получает отражение то обстоятельство, что процессу потребления ресурсов всегда предшествуют процессы производства и распределения. Четвёртая особенность имитационной модели — более свободный вы­бор средств для моделирования процессов (в то время как классические модели используют сравнительно узкий круг ма­тематических конструкций: линейные уравнения и неравенства, оптимизация линейных или дробно-линейных функций, регрес­сионный анализ, методы теории массового обслуживания). Мо­дели процессов — это машинные и программно – человеко - машинные алго­ритмы.

В результате они:

• вычисляют значения модельного времени;

• изменя­ют значения переменных, представляющих состояния компонентов модели;

• генерируют по ходу моделирования но­вые компоненты (например, сдаваемые в эксплуатацию строя­щиеся промышленные предприятия или выставляемые платёжные требования);

• уничтожают компоненты (разорив­шиеся предприятия или оплаченные платёжки). 

В алгоритмы моделирования процессов включаются иногда и специальные процедуры, генерирующие случайные значения некоторых переменных (представляющих, например, текущие погодные условия или отклонение объёмов поставки от договорных). Пятая особен­ность — весьма широкие возможности диалога экспериментатора с моделью в ходе её выполнения, в то время как с выполняемой на компьютере классической моделью экспериментатор кон­тактирует лишь перед её запуском (задавая значения её изме­няемых параметров) и после её завершения (интерпретируя по­лученные результаты).

Перечисленные особенности не исчерпывают, возможно, всех свойств моделей, которые разные авторы назы­вают имитационными; с другой стороны, некоторые авторы на­зывают имитационными модели, обладающие лишь частью этих свойств; наконец, некоторыми из перечисленных свойств могут в той или иной степени обладать и классические модели, особенно их модификации.

Для представления структур и процессов имитационного моделирования используют­ся как универсальные так и специализированные языки программиро­вания, проблемно-ориентированные пакеты прикладных про­грамм, различные универсальные и специализированные сис­темы управления базами данных. Все эти средства позволяют моделировать самые разнообразные структуры и различные отноше­ния между их компонентами: подчинённость, собственность, договорённость и тому подобное. В силу своей «молодости» такое моделирование процессов может наталкиваться на методологические трудности.

В первую очередь это относится к моделированию человеческого поведения, в ча­стности процессов принятия решений. Это одна из причин, по которой модели процессов реализуются иногда в виде челове­ко-машинных алгоритмов: некоторые элементы человеческого поведения моделируются специально привлечёнными людьми (экспертами). Такое участие людей в эксперименте с имитационными моделями приобретает форму имитационной управленческой игры.

Точность ото­бражения прототипа собственно определяется структурой модели, свойст­вами алгоритмов, моделирующих процессы, и реальностью числовой информации, используемой в модели. Такая сложность имитационных моделей и их прототипов, сложность проведения и интерпретации экспериментов с ними приводит к тому, что в данной сфере за­труднительно, а иногда и принципиально невозможно приме­нить формализованные (например, статистические) методы оценки адекватности модели, используемые в естественных на­уках и технике. Здесь очень часто приходится оперировать субъ­ективными понятиями, принятыми в гуманитарных областях: доверие к модели, правдоподобие модели, убеждённость в её применимости и тому подобное.

Однако именно имитационные модели являются подходящим инструмен­том для системных исследований.

Получение решений в имитационном моделировании производится с помощью так называемого метода статистических испытаний. Это численный ме­тод решения математических задач, основанный на моделирова­нии случайных величин или процессов и в последующем построе­нии статистических оценок для искомых величин. Другое назва­ние метода статистических испытаний - метод Монте-Карло - в большей степени отно­сится к модификациям метода статистических испытаний. Универсальность метода статистических испытаний как ме­тода вычислительной математики определяется возможностью его использования для решения задач, не связанных со случайнос­тью. Это достигается построением вспомогательных вероятност­ных моделей, куда в качестве параметров входят подлежащие точному определению и формализации постоянные величины.

Создателями метода статистических испытаний (метода Монте-Карло) считают американских математиков Д. фон Неймана и С. Улама. В 1944 году, в связи с работами по созданию атомной бомбы фон Нейман предложил широко использовать аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач с помощью ЭВМ. Одеакр первая работа, где этот вопрос систематически излагался, принадлежит Метрополису и Уламу.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались не пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень и очень разных по своему содержанию. Сейчас к разделам науки, где все в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.

Аналитические методы как известно дают решение задачи либо в виде формулы, либо в виде разложения в ряды или интегралы по полному набору собственных функций какого-нибудь оператора.

Классические численные методы в своб очередь дают приближенную схему решения задачи, связанную, обычно с разбиением пространства на строго определенные клетки и заменой интегрирования суммированием и дифференцирования – конечными разностями.

Основными недостатками аналитических методов при этом являются:

• Крайне недостаточная универсальность основных способов решения. Например, способ разложения в ряд по собственным функциям практически не работают для тех дифференциальных уравнений в частных производных, где переменные не разделяются, и так далее.

• Крайне ограниченный набор возможных геометрических условий, для которых возможно решение задачи. Даже самое простое сочетание простых, но разнотипных поверхностей делает задачу неразрешимой.

• Невозможность полного расчета физического процесса, вероятностное описание которого известно, но выражение в виде уравнения крайне затруднительно.

Классические численные методы исправляют часть этих недостатков, но при этом добавляют свои собственные. Они не страшатся сложной геометрии задач, однако:

• Они чрезвычайно громоздки. Объем промежуточной информации часто трудно вместить даже в память современного компьютера.

• Оценка погрешности решения представляет намного более трудную процедуру, чем сам процесс решения. Часто она просто невозможна.

Метод же статистических испытаний свободен от всех этих недостатков.

Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайной величины с целью вычисления основных характеристик их распределений. Это численный метод решения математических задач при помощи самого моделирования случайных величин.

Задача метода Монте-Карло следующая - после получения ряда реализаций интересующей нас случайной величины нужно получить некоторые сведения о ее распределении, то есть она является типичной задачей математической статистики.

Простейшая схема метода статистических испытаний такова. Для определения неизвест­ной величины   подыскивается случайная величина  , математи­ческое ожидание которой равно  . Если   независимы и одинаково распределены так же, как  , то при достаточно боль­шом   по закону больших чисел средняя арифметическая этих величин   будет приближённо равна  :  при   и  . (127)

Этот факт указывает способ расчета, а путём моделирования случайной величины  . С помощью центральной предельной теоремы можно получить оценку погрешности. Эта погрешность стремится к нулю с ростом   и, например, с большой вероятно­стью не превосходит  , где  . Таким образом, например, представляют многомерный интеграл в виде математического ожидания функционала от случайного процесса, который затем моделируется. Известны вероятностные модели для вычисле­ния интегралов, для решения интегральных уравнений систем линейных алгебраических уравнений, краевых задач для эллип­тических уравнений, для оценки собственных значений линей­ных операторов и так далее.

Моделирование случайных величин с заданными распределе­ниями, как правило, осуществляется путём преобразования од­ного или нескольких независимых значений случайной величи­ны а, распределённой равномерно в интервале (0, 1). Последо­вательности таких выборочных значений   обычно получают на ком­пьютере с помощью теоретико-числовых алгоритмов; и такие чис­ла называются псевдослучайными.

Если в расчёте по методу статистических испытаний моделируются случайные величи­ны, определяемые конкретным содержанием изучаемого явле­ния, то такой расчёт часто бывает не вполне эффективным. Эта неэф­фективность обычно проявляется в достаточно большой величине погрешности (дисперсии) оценок искомых величин. Разработа­но много способов уменьшения такой дисперсии указанных оценок в рамках метода статистических испытаний. В частности, рекомендуется выбрать более подходящую вероятностную модель.

Как было отмечено, метод Монте-Карло это сугубо численный метод, использующий моделирование слу­чайных величин и построение статистических оценок для иско­мых величин. Первоначально такие алгоритмы метода Монте-Карло применялись для: - оценки многократных интегралов;

- решения интегральных уравнений 2-го рода.

Теперь рассмотрим алгоритм для оценки многократных интегралов.

Пусть необходимо оценить интеграл   по мере Лебега в евклидовом  -мерном пространстве и   — плотность ве­роятности такая, что   можно записать в виде математического ожидания следующим образом: , (128) где  . Моделируя искомое   на компьютере, можно полу­чить   выборочных значений  . Тогда согласно закону больших чисел, . (129)

Одновременно можно оценить и среднеквадратическую по­грешность  , то есть величину  , а также приближённо построить подходящий доверительный интервал для  . Выбором плотности   можно распорядиться для получения необходимой оценки с возможно меньшей дисперсией. Соответствующие алгоритмы также называются существенной выборкой (выборкой по важности).

Иногда полезны сочетания метода Монте-Карло с классическими квадра­турами — так называемые случайные квадратурные формулы, основная идея которых состоит в том, что узлы и коэффициенты ка­кой-либо квадратурной суммы (например, интерполяционной) выбираются случайно из распределения, обеспечивающего несмещённость получаемой оценки интеграла. При этом порядок скорости сходимости метода Монте-Карло существенно повышается и в некоторых слу­чаях становится максимально возможным на рассматриваемом классе задач.

Если же подинтегральная функция зависит от параметра, то це­лесообразно использовать метод зависимых испытаний, то есть вычислять интегралы для различных значений параметра по одним и тем же случайным узлам. Важным свойством метода Монте-Карло является сравнительно слабая зависимость среднеквадратич­ной погрешности   собственно от размерности задачи, причём порядок сходимости по числу узлов,   всегда один и тот же:  . Это позволяет вычислять (после предварительных преобразова­ний задачи) интегралы очень высокой и даже бесконечной кратности.

 А вот алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений 2-го рода

Пусть необходимо вычислить линейный функцио­нал  , где  , причём для интегрального опера­тора   с ядром   выполняется условие, обеспечивающее сходимость ряда фон Неймана:  . Цепь Маркова   опреде­ляется начальной плотностью   а также переходной плотностью  ; вероятность обрыва цепи в точке   равна ; (130) где  — случайный номер последнего состояния. Далее определя­ется функционал от траектории цепи, математическое ожидание которого равно  . Чаще всего при этом используется так называемая оценка по столкновениям. , (131) где ,  . (132) Если   при   и   при  , то при некотором дополнительном условии . (133) Возможность достижения малой дисперсии в знакопостоянном случае показывает следующее утверждение: если   и  , (134) где  , то  ,  .

Моделируя подходящую цепь Маркова на компьютере, в результате получают статистическую оценку линейных функционалов от решения интегрального уравнения 2-го рода. Это также даёт возможность и локальной оценки решения на основе представления:  , где  . В методе Монте-Карло оценка пер­вого собственного значения интегрального оператора осущест­вляется извечтным итерационным методом на основе следующего соотношения (135)

Все рассмотренные результаты почти автоматически распро­страняются на все системы линейных алгебраических уравнений вида  .

Решение же дифференциальных уравнений осуществляется методом Монте-Карло на базе соответствующих интегральных соотноше­ний. Изложенное представляет собой основу для построения весьма эффективных модификаций статистического моделирова­ния.