1. Задача оптимального розкрою дсп

Плити розміром 350175 см підлягають розкрою на заготовки двох типорозмірів : 20070 і 16090 см. Необхідно отримати не менше 300 заготовок першого і не менше 400 заготовок другого типорозмірів за умови, що сумарна кількість витрат (за площею) має бути мінімальною.

Розглянемо можливі варіанти розкрою.

Таким чином, необхідно вияснити, скільки плит необхідно розкроїти для кожного з розглянутих варіантів з умовою забезпечення вимоги геометричних розмірів заготовок, їх кількості та сумарна кількість відходів за площею має бути мінімальною.

Позначимо:

х₁ – кількість плит, що розкроюються за 1-м варіантом;

х₂ – за 2-м варіантом;

х₃ – за 3-м варіантом.

Складаємо обмеження для випуску заготовок 1-го типу розміру

(1)

(2)

Вираз для сумарної кількості відходів характеризується мінімізацією цільової функції і має вигляд

18850х1+18450х2+18050х3  min (3)

Необхідно також врахувати звичайні обмеження на невід’ємність величин

х₁0; х₂0; х₃0. (4)

Сукупність рівнянь (1)-(4) є математичною моделлю даної задачі, а саме задачі лінійного програмування (ЗЛП.).

2. Загальна постановка задачі лінійного програмування

Нехай маємо n змінних х₁, х₂, ..., х_n. Необхідно знайти такі їх значення, для яких цільова функція

. (5)

Причому змінні мають задовольняти ряду обмежень, які характеризуються наступними типами:

(6)

(7)

(8)

Також мають місце тривіальні або прості обмеження

х₁0; х₂0; ... х_n0. (9)

• обмеження виду (8) легко зводяться до (7), або навпаки шляхом множення на 1.

• обмеження (6) можна звести до (7) шляхом виключення будь-якої змінної.

Приклад.



Якщо врахувати х₃0, то отримаємо

Сукупність значень змінних , що задовольняє всім обмеженням ЗЛП, називається її допустимим розв’язком.

Оптимальним розв’язком ЗЛП називається такий її допустимий розв’язок, для якого цільова функція досягає екстремум (max або min), залежно від умов задачі.

Приклад.

х₁0; х₂0.

Допустимі значення х₁ = 0,5; х₂ = 1.

W =3·0.5+2·1=3.5

Оптимальні розв’язки х_1опт = 7/13; х_2опт = 24/13; W =69/13.

Таким чином, ЗЛП в загальному вигляді можна записати у наступному вигляді:

. (10)

(11)

......................................................

х₁0; х₂0; ... х_n0.

4. Основна задача лінійного програмування (озлп) та її властивості

Загальний вигляд ОЗЛП записується

. (12)

(13)

......................................................

х₁0; х₂0; ... х_n0.

Всі нетривіальні обмеження мають вигляд рівностей

Теореми лінійної алгебри дають можливість вирішити питання про існування допустимого розв’язку ОЗЛП.

Нехай

r – число лінійно незалежних рівнянь (r – це ранг системи рівнянь)

r ≤ n;

Якщо r = n, тоді система (13) має єдиний розв’язок  ОЗЛП має єдиний розв’язок ( ).

Якщо , х_і0, то ( ) є допустимим та оптимальним розв’язком ОЗЛП.

Якщо , х_і<0, то ОЗЛП не має допустимих розв’язків.

Якщо r < n, тоді система рівнянь (13) має нескінченне число розв’язків. Тоді n-r-змінним можна надати довільні значення і вони називаються вільними.

Для існування допустимих розв’язків ОЗЛП необхідно, щоб серед множини розв’язків системи рівнянь були невід’ємні, які задовольняють обмеженням (13).

Задачу ЛП можна звести до ОЗЛП (ЗЛПОЗЛП) таким чином:

введемо додаткові змінні у₁, у₂, ... , у_m

......................................................

з (11) витікає, що у₁0, у₂0, ... , у_m0. Отже, отримуємо ОЗЛП з більшим числом змінних, а саме n+m

.

ОДР, якщо вона існує, є випуклий багатокутник, а оптимальний розв’язок завжди досягнеться в одній з вершин цього багатокутника.

Допустимий розв’язок, що знаходиться в одній з вершин багатокутника, називається опорним розв’язком, а сама вершина – опорною точкою.

Для знаходження оптимального розв’язку можна перебрати всі опорні розв’язки, відшукати серед них цей, в якого цільова функція досягає