Лекція 1

Основні положення математичного моделювання. статистичне моделювання об’єктів керування

1. Поняття математичної моделі та основні вимоги

Математичне моделювання – один з основних інструментів розв’язання задач аналізу, проектування та керування автоматизованим виробництвом.

Математична модель об’єкту – це сукупність математичних залежностей, які описують його функціонування.

Основні вимоги до математичної моделі:

Методи розв’язування нелінійних рівнянь поділяються на прямі та ітераційні.

Точність математичної моделі – властивість, що характеризує ступінь відповідності між отриманими за моделлю та істинними значеннями параметрів об’єкта. Часто істині значення параметрів об’єкта ототожнюють з експеримент­аль­ними. Але похибка експерименту у багатьох випадках є сумісною з адекватністю математичних моделей, а часто перевищує їх.

Економічність математичної моделі – насамперед визначають затратами машинного часу. Показником ефективності може бути:

• кількість параметрів, що використовуються в моделі;

• число операторів програми обчислень

Ступінь універсальності математичної моделі – визначають можливістю її застосування для аналізу однотипних об’єктів та для вивчення їх у багатьох режимах функціонування.

2. Структура математичних моделей

Вхідними прийнято називати параметри, що не залежать від режиму роботи об’єктів, піддаються безпосередньому впливу розробника або оператора та забезпечують керування процесом.

Приклад: вхідна напруга або струм, температура теплоносія

Група параметрів об’єкту, які залежать від його конструкції, режиму роботи і вхідних параметрів, називаються вихідними. Вони є результатом сумарної дії вхідних та збурювальних впливів.

Збурювальні впливи – це впливи, що порушують встановлений функціо­нальний зв’язок між вхідними та вихідними параметрами. Вони мають в основному імовірнісний характер. Збурювальні впливи можуть бути як внутрішніми, так і зовнішніми.

Теоретичний опис фізичних процесів базується на:

• законах збереження матерії та енергії;

• різних фізичних законах, встановлених дослідним шляхом.

3. Класифікація моделей об’єктів керування

Предметні моделі реалізуються у вигляді певних матеріальних об’єктів. Вони можуть мати однакову або різну природу з досліджуваним оригіналом.

Якщо предметна модель (макет) і модельований об’єкт мають однакову фізичну природу, то таке моделювання і сама модель називається фізичною.

Важливими умовами фізичного моделювання є геометрична (за формою) і фізична подібність. Це означає пропорціональність величин досліджуваних пара­метрів оригіналу і моделі у відповідні моменти часу і точках приросту:

значення оригіналу = значення моделі  k (коефіцієнт подібності)

Безрозмірні комбінації коефіцієнтів подібності називають критеріями подіб­ності.

Необхідною умовою фізичного моделювання є рівність усіх критеріїв подіб­ності для оригіналу та моделі.

Побудова таких моделей є досить проблематичною задачею, тому викорис­товують наближені моделі, що дає змогу дослідити лише найважливіші характе­ристики об’єкта.

В аналоговому моделюванні, на відміну від фізичного, природа досліджуваного об’єкта і моделі може бути різною, але функціонування їх обох має одинакові закономірності.

– механічні коливання маятника

– q – заряд на пластинах конденсатора у коливальному контурі з послідовним з’єднанням E, C, L.

Суть імітаційного моделювання полягає у побудові імітаційної моделі об’єкта та у подальшому цілеспрямованому експериментуванні з такою моделлю для отримання закономірностей. для імітаційної моделі можна використовувати сучасні інструментальні засоби програмування.