4.10. Дифференциал
проведем касательную MT,
обозначив через
ее угол наклона к положительному
направлению оси Ох. Так как
,
то из треугольника MEF
следует, что
.
Введем обозначение
.
Это выражение называется дифференциалом функции . Итак
.
Замечая, что
,
т.е. что дифференциал независимой
переменной равен ее приращению, получим
.
Таким образом, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал (или приращение) независимой переменной.
Из последней формулы следует, что
,
т.е. производная функции равна отношению
дифференциала этой функции к дифференциалу
аргумента.
Дифференциал функции dy геометрически представляет собой приращение ординаты касательной, соответствующее приращению аргумента х.
Из рисунка видно, что при достаточно
малом х по
абсолютной величине можно взять
приращение функции
приближенно равным ее дифференциалу,
т.е.
.
Рассмотрим сложную функцию , где , причем дифференцируема по u, а – по х. По правилу дифференцирования сложной функции
.
Умножим это равенство на dx:
Так как
(по определению дифференциала), то
или
Таким образом, дифференциал сложной функции имеет тот же вид, если бы переменная u была не промежуточным аргументом, а независимой переменной.
Это свойство дифференциала называется инвариантностью (неизменяемостью) формы дифференциала.
Пример.
.
Все правила дифференцирования можно записать для дифференциалов.
Пусть
– дифференцируемы в точке х. Тогда
Докажем второе правило.
4.11. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Для нахождения производной функции, заданной параметрически
,
где
– известные
дифференцируемые функции параметра
,
воспользуемся тем, что
.
Тогда
.
Таким образом, производная параметрически
заданной функции равна отношению частных
производных переменных
и
по параметру
.
Пример.
.
.
4.12. Производная неявной функции
Пусть дано уравнение вида
,
связывающее переменные
и
.
Если
нельзя явно выразить через
,
(разрешить относительно
)
то такая функция называется неявно
заданной. Чтобы найти производную от
такой функции, нужно обе части уравнения
продифференцировать по
,
считая
функцией от
.
Из полученного нового уравнения найти
.
Пример.
.
Дифференцируем обе части уравнения по
,
помня, что
есть функция от
4.13. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Пусть
и
– дифференцируемые
функции, причем
и
или
и
.
Если существует предел отношения
производных этих функций при
,
то к этому пределу стремится и отношение
самих функций:
.
Пример 1.
Пример 2.
В некоторых случаях при нахождении предела правило Лопиталя приходится применять неоднократно.
Пример 3.
В рассмотренном примере на месте
могла бы быть степенная функция со сколь
угодно большим показателем степени,
результат был бы тот же. Он свидетельствует
о том, что экспонента увеличивается
быстрее любой степенной функции.
Правило Лопиталя можно применять не
только для раскрытия неопределенностей
вида
или
,
но и других видов, предварительно
преобразовав их.
Пример 4.
Замечание. В преобразованиях использовано
равенство
.