4.6. Механический и геометрический смысл производной
Обращаясь к рассмотренным ранее задачам, приводящим к понятию производной, можно сформулировать следующие утверждения.
1) Скорость
прямолинейного движения точки есть
производная пути
по времени
:
.
Это механический смысл производной.
Поэтому производную любой функции
называют скоростью изменения этой
функции.
2) Угловой коэффициент невертикальной
касательной к непрерывной кривой
в точке с абсциссой
есть производная
,
т.е.
.
Это геометрический смысл производной.
Известно, что уравнение прямой, проходящей
через точку
с угловым коэффициентом
имеет вид:
.
С учетом этой формулы уравнение
касательной к кривой
в точке
принимает вид:
Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно к касательной в этой точке.
,
откуда
.
Следовательно, если
,
то уравнение нормали к кривой
в точке
можно записать в виде
.
Пример. Написать уравнения касательной
и нормали к кривой
в точке
.
Так как
,
то угловой коэффициент касательной в
указанной точке
.
Следовательно, уравнение касательной
.
Уравнение нормали
.
4.7. Общие правила дифференцирования
Производные любых функций можно найти непосредственно по определению, как показано в п.4.4. Однако каждый раз делать это весьма затруднительно, поэтому для дифференцирования произвольных функций можно воспользоваться таблицей производных элементарных функций и правилами дифференцирования.
Пусть функции
и
дифференцируемы в точке
.
Тогда их сумма, разность, произведение
и частное
также дифференцируемы в точке
,
причем
Для примера выведем правило дифференцирования
произведения двух функций. Пусть
.
Придадим аргументу
произвольное приращение
,
тогда в результате этого функции
получат соответственно приращения
:
Таким образом,
.
При выводе использовано условие
дифференцируемости, а, следовательно,
и непрерывности функции
,
в силу чего
.
В частности, из доказанной формулы
вытекает правило:
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Таблица производных элементарных функций
Замечание. Напомним свойства степеней и корней, используемые при дифференцировании функций:
Приведем примеры нахождения производных.
1)
.
2)
4.8. Производная сложной функции
Пусть
.
Тогда функция
будет сложной функцией от x.
Если функция
дифференцируема в точке x,
а функция
дифференцируема в точке u,
то
тоже дифференцируема в точке x,
причем
.
Примеры.
1.
Полагаем
,
тогда
.
Следовательно
.
При достаточном навыке промежуточную переменную u не пишут, вводя ее лишь мысленно.
2.
.
4.9. Логарифмическое дифференцирование
Показательно-степенной функцией
называется функция вида
,
где
,
–
дифференцируемые функции и
.
Для нахождения производной такой функции ее сначала логарифмируют, а затем дифференцируют полученное равенство.
Логарифмическое дифференцирование применяется также для функций, состоящих из большого числа сомножителей или являющихся отношением произведений нескольких функций.
Примеры.
1. Найти производную функции
.
.
2. Найти производную функции
.
;
;
.
Замечание. При решении применялись следующие свойства логарифмов:
