Тема 5. Функции многих переменных.

21. Функции многих переменных. Понятие их предела и непрерывности. Частные производные, дифференцируемость и дифференциал. Высшее дифференцирование. Формулы дифференцирования неявных функций.

22. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции многих переменных.

23. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Тема 6. Интегральное исчисление.

24. Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интегрирования. Таблица интегралов.

25. Методы замены переменного и интегрирования по частям. Интегрирование рациональных и иррациональных функций.

26. Определённый интеграл и его свойства. Теорема о среднем значении. Интеграл с переменным верхним пределом. Условия его непрерывности и дифференцируемости. Формула Ньютона-Лейбница.

27. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.

2. Вопросы к экзамену в 1 семестре

1. Матрицы. Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами и их свойства

2. Произведение матриц. Свойства произведения матриц.

3. Определители и их свойства. Правило Крамера.

4. Единичная и обратная матрицы. Решение СЛАУ матричным методом.

5. Решение СЛАУ методом Гаусса.

6. Решение СЛАУ методом Гаусса-Жордана.

7. Векторы, действия над ними. Координаты вектора (теорема о базисе плоскости).

8. Скалярное произведение векторов. Свойства и геометрические приложения.

9. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.

10. Векторы в пространстве (теорема о базисе пространства).

11. Векторное произведение векторов. Свойства и геометрические приложения.

12. Смешанное произведение векторов. Свойства и геометрические приложения.

13. Прямая на плоскости. Прямая, проходящая через две точки.

14. Описание прямой, проходящей через заданную точку и с заданным угловым коэффициентом. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

15. Общее уравнение прямой на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой в отрезках.

16. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

17. Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

18. Линии второго порядка на плоскости и их общее описание.

19. Каноническое уравнение эллипса, геометрическая характеристика, построение.

20. Каноническое уравнение гиперболы, геометрическая характеристика, построение.

21. Каноническое уравнение параболы, геометрическая характеристика, построение.

22. Прямые в трехмерном пространстве.

23. Векторное описание плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

24. Векторное описание плоскости, проходящей через три точки.

25. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

26. Общее уравнение поверхности. Цилиндрическая поверхность.

27. Эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус

28. Множества и действия над ними.

29. Элементарные функции. Свойства. Графики. Преобразование графиков.

30. Предел функции в точке. Раскрытие неопределенностей.

31. Замечательные пределы.

32. Непрерывность функции в точке.

33. Непрерывность функции на отрезке.

34. Производная функции, её геометрический смысл.

35. Правила дифференцирования. Таблица производных.

36. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).

37. Исследование функции на монотонность и экстремумы.

38. Нахождение направлений выпуклости и точек перегиба графика функции.

39. Правило Лопиталя.

40. Асимптоты графика функции.

41. Формула Тейлора и ее применение.

42. Функция двух переменных, её область определения и график.

43. Частные производные функции двух переменных.

44. Экстремум функции двух переменных: необходимое условие, достаточное условие существования.

45. Условный экстремум. Задача Дидоны. Функция Лагранжа.

46. Глобальный экстремум функции двух переменных в замкнутой области.

47. Неопределённый интеграл и его свойства.

48. Таблица неопределённых интегралов.

49. Метод замены переменной в неопределённом интеграле.

50. Формула интегрирования по частям в неопределённом интеграле.

51. Интегрирование рациональных дробей.

52. Интегрирование некоторых трансцендентных функций.

53. Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона – Лейбница.

54. Геометрические приложения определённого интеграла.