Момент інерції

Оскільки абсолютно тверде тіло - це система жорстко зв'язаних матеріальних точок, тоді маса тіла дорівнює сумі мас усіх цих точок.

Моментом інерції матеріальної точки відносно даної осі обертання називається величина, яка дорівнює добутку маси матеріальної точки на квадрат відстані від точки до осі обертання:

- радіус-вектор точки, яка має масу .

Моментом інерції твердого тіла щодо деякої осі обертання називається сума моментів інерції усіх матеріальних точок цього тіла до тієї ж осі:

Із визначення моменту інерції видно, що це величина адитивна, тобто момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції його частин.

Момент інерції залежить від матеріалу, з якого виготовлене тіло, форми і розмірів тіла, а також від вибору осі обертання.

Фізичний зміст моменту інерції полягає в тому, що він грає таку ж роль в обертальному русі, що і маса в поступальному, тобто момент інерції є мірою інертності тіла в обертальному русі.

Момент інерції того самого тіла щодо різних осей обертання відрізняється. Для паралельних осей обертання виконується теорема Штейнера.

Нехай тверде тіло обертається навколо осі , що не проходить через центр мас. - вісь, що проходить через центр мас, який знаходиться у точці . Осі паралельні: , - відстань між осями (рис.10). - момент інерції тіла щодо осі . Тоді момент інерції тіла щодо осі визначається за теоремою Штейнера:

Теорема Штейнера: момент інерції відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції відносно осі паралельної даної, яка проходить через центр мас, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.

У таблиці 2 наведені основні характеристики поступального та обертального рухів

Таблиця 2

Поступальний рух	Обертальний рух
Прискорення	Кутове прискорення
Маса	Момент інерції
Швидкість	Кутова швидкість
Сила	Момент сили або
Імпульс	Момент імпульсу або
Основне рівняння динаміки або	Основне рівняння динаміки або
Кінетична енергія	Кінетична енергія обертання

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА М5 (№ 101)

Перевірка законів кінематики і динаміки на приладі атвуда Проробити теоретичне введення «обертальний рух» стор.35-46

Мета роботи: Вивчення законів кінематики і динаміки поступального і обертального рухів на приладі Атвуда.

1. Опис установки і виведення робочої формули

П рилад "Машина Атвуда" призначений для вивчення законів кінематики при дослідженні прямолінійного рівномірного і рівноприскореного рухів і законів динаміки при дослідженні залежності прискорення від діючої на тіло сили і від маси тіла.

Прилад Атвуда (рис.1) має вертикальну стійку з поділками.

Через легкий блок, що наявний у верхній частині шкали і обертається з малим тертям, перекинута нитка з двома однаковими вантажами масою кожен. Отже, система знаходиться в рівновазі. Якщо на один з вантажів покласти перевантажень масою , то вся система – два великі вантажі і перевантажень – дістане прискорення під дією сили і пройде шлях . На кільці перевантажень знімається і вантажі тепер рухатимуться рівномірно з швидкістю, придбаною в результаті рівноприскореного руху, і пройдуть шлях . Прискорення, з яким рухаються вантажі на шляху , можна визначити із законів динаміки.

Розглянемо сили, що діють на кожен вантаж і на блок окремо. На кожен вантаж і діють дві сили: сила тяжіння , і сила натягнення нитки , (рис.1). Запишемо II закон Ньютона в проекції на вісь Х. Для вантажу :

. (1)

Для вантажу :

, (2)

де - прискорення поступального руху усієї системи, однакове по модулю для обох вантажів; - прискорення вільного падіння; і - сили натягнення нитки, що діють на блок. Нехтуючи вагою нитки, отримуємо і . Тоді основний закон динаміки обертального руху для блоку в проекції на вісь має вигляд:

(3),

де - момент інерції блоку; - радіус блоку; - кутове прискорення блоку; - момент сили тертя в осі блоку. Взаємозв'язок кутового і лінійного прискорень: . (4)

Рівняння руху всіх тіл системи набувають вигляд:

(1)

(2)

(3)

(4)

Вирішуючи систему рівнянь (1) – (4) відносно , отримуємо

(5)

З формули (5) видно, що прискорення лінійно залежить від , оскільки - величина постійна і знаменник в (5) також можна вважати постійною величиною при малих в порівнянні з . Лінійну залежність від можна підтвердити також графічно. Для цього обчислимо прискорення з кінематики. Миттєва швидкість в кінці рівноприскореного руху (у момент зняття перевантаження ) є тією швидкістю, з якою система рухається далі рівномірно, і може бути визначена за формулою: (де - час рівномірного руху). Отже, отримаємо робочу формулу:

. (6)