1.1. Структура математической модели
Изучаемый объект может быть самой разнообразной технологической, экономической или какой ещё природы, физически осязаем (явление, технологический агрегат, производственный участок с комплексом взаимосвязанных агрегатов и производственным и управленческим персоналом и т.д.) или проявляться лишь косвенно, своими конечными результатами (вычислительный процесс, процесс выработки решений коллективом людей и т.д.).
В общем случае применяется системный подход, когда объект рассматривается как сложная целенаправленная система, под которой имеется в виду совокупность взаимосвязанных элементов, функционирование которых подчинено достижению единых для всех элементов целей.
Необходимо подчеркнуть, что элементы, составляющие систему, из которых состоит изучаемый объект, - машины, агрегаты, помещения, обслуживающий персонал и т.д. – обладают некоторыми свойствами, характеристиками, которые могут изменяться как во времени, так и под влиянием взаимодействия с другими элементами системы. Следовательно, в принципе в любой момент времени узнать любой набор, любую совокупность значений этих характеристик и свойств. Такой набор (или совокупность свойств всех компонентов и элементов системы), однозначно ее характеризующий, обычно называют состоянием системы. Состояние системы может изменяться, и такое изменение в общем случае называется движением или функционированием системы.
Воздействие внешней среды на систему называют входом системы, а воздействие системы на внешнюю среду - выходом системы. При исследовании любых объектов целесообразно вводить и учитывать направление связи, т.е. конкретного указания, что и на что воздействует в данный момент.
Структура системы – конкретное отображение для данного объекта как системы всех его элементов и всех связей между ними.
Структура системы или подсистемы, дальнейшая декомпозиция которой для данного конкретного анализа объекта признается нецелесообразной и которую, следовательно, достаточно охарактеризовать ее состоянием и указанием одних лишь связей (ее входа и выхода) носит специальное и весьма распространенное название черного ящика.
В большинстве случаев удобно представлять объект как «черный ящик» с входными и выходными параметрами (рис.1.1).
G1
G2
Gm
.
. .
«Черный ящик»
(объект исследования)
X
X
Y
Y
X
Yn
Рис.1.1. Схема «черного ящика»
Стрелки справа - численные характеристики целей исследования. Их называют параметрами оптимизации (критерием оптимизации, откликом функции, выходом «черного ящика»).
В общем случае, изучаемый технический объект (ТО) количественно можно охарактеризовать векторами x Rk, g Rm , y Rn внешних, внутренних и выходных параметров соответственно. Одни и те же физические, механические или информационные характеристики ТО в моделях различного уровня и содержания могут выполнять роль, как внешних или внутренних, так и выходных параметров.
Например, для электронного усилителя выходными параметрами являются коэффициент усиления, полоса частот пропускаемых сигналов, входное сопротивление, рассеиваемая мощность, внешними – сопротивление и емкость нагрузки, напряжения источников питания, температура окружающей среды, а внутренними – сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, характеристики транзисторов.
В сравнительно простом случае математическая модель (ММ) технического объекта (ТО) может представлять собой соотношение:
y = f (x,g) , x Rk, g Rm , y Rn , (1.2)
где f – векторная функция векторного аргумента.
Модель в виде соотношения (1.2) позволяет легко вычислять выходные параметры по задаваемым значениям внешних и внутренних параметров, т.е. решать так называемую прямую задачу.
В инженерной практике решение прямой задачи часто называют проверочным расчетом. При создании ТО возникает необходимость решать более сложную так называемую обратную задачу, а именно по обусловленным техническим заданием на проектирование ТО значениям внешних и выходных параметров находить его внутренние параметры.
Теоретический путь построения ММ состоит в установлении связи между y,x,g в виде уравнения:
L(u(z)) = 0, (1.3)
где L – некоторый оператор (в общем случае нелинейный),
0 – нулевой элемент пространства, в котором действует этот оператор,
z – вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты,
u – вектор фазовых переменных, включающий те параметры ТО, которые характеризуют его состояние.
Но даже если возможно получить решение (1.3) и найти зависимость u(z), то далеко не всегда удается представить математическую модель технического объекта в явном относительно вектора y виде соотношения (1.2). Поэтому именно уравнение (1.3) определяет в общем случае структуру математической модели технического объекта, а соотношение (1.2) является более простым частным случаем такой модели.