Повторные независимые испытания. Испытания по схеме Бернулли.
На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появится событие . При этом интерес представляет исход не каждого отдельного испытания, а общее количество появлений события в результате определенного количества испытаний.
Испытания называют повторно независимыми, если испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна.
Повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.
Пусть производится
независимых испытаний, в каждом из
которых вероятность появления события
постоянна и равна
.
Требуется найти вероятность
того, что при
повторных испытаниях событие
произойдет
раз.
В зависимости от значений и задача предложенного типа решается по различным формулам.
Если
,
то используют формулу Бернулли:
,
где
– вероятность не наступления события
в каждом испытании.
Если
и
,
то используют локальную теорему
Лапласа:
,
где
,
.
Значения
находят по таблице приложения А, Функция
четная, т.е.
,
таблица содержит значения функции
лишь для
;
при
можно принять
.
Если и
(либо
),
то используют формулу Пуассона:
,
где
.
Функция протабулирована.
Пример 1. Вероятность появления
события
в каждом из 7 независимых испытаний
постоянна и равна
.
Определить вероятность того, что событие
наступит ровно 5 раз.
Решение. По условию
;
,
,
.
Т.е. для решения задачи используют
формулу Бернулли.
Искомая вероятность:
.
Пример 2. Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не более определенного количества литров в сутки) равна р = 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход воды будет нормальным любые трое суток.
Решение. Используем формулу Бернулли
,
где
,
.
.
3.5.2 Случайные величины
Случайной величиной называют такую величину, которая в результате испытания может принять только одно числовое значение из своих возможных значений, заранее неизвестно какое именно, и обусловленное случайными причинами.
Различают дискретные и непрерывные
случайные величины. Обозначают случайные
величины прописными буквами: X,
Y,
Z,…,
а их возможные значения строчными
буквами, например,
.
Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные изолированные значения, которые можно пересчитать, с соответствующими вероятностями. Число значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Например, дискретная случайная величина Х – число попаданий при трех выстрелах, имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2, 3.
Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения заполняют некоторый интервал полностью. Например, рост человека, вес человека и т.п.
Законом распределения случайной величины называется любое соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Эту зависимость можно задать таблично, аналитически или графически.
Если случайная величина Х – дискретная с конечным множеством возможных значений, то ее закон распределения обычно задают в виде таблицы, в первой строке которой указывают все возможные значения случайной величины, расположенные по возрастанию, во второй строке – вероятности, с которыми она их принимает:
xi |
x1 |
x2 |
. . . |
xn |
pi |
p1 |
p2 |
. . . |
pn |
В этом случае группа событий
- есть полная группа событий и
.
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать графически в виде многоугольника распределения, если на плоскости построить точки с координатами (xi, pi) и соединить их ломаной линией.
Закон распределения непрерывной случайной величины задается интегральной или дифференциальной функциями распределения.
Интегральной функцией распределения F(x) называется функция одного переменного x, определенная на всей числовой оси и для каждого x значение функции F(x) = P(X<x).
Свойства функции F(x):
;F(x) – неубывающая функция;
.Вероятность попадания значений случайной величины Х в заданный интервал (а; b) определяется по формуле Р(а<Х<b)=F(b)-F(а).
Дифференциальной функцией
распределения или плотностью вероятности
непрерывной случайной величины Х
называется
.
График функции f(x) называется
кривой распределения.
Свойства плотности f(x):
,
т. к. f(x) есть производная
неубывающей функции F(x);
,
т. к. событие
есть достоверное событие;
;
.
Числовые характеристики случайной величины Х:
Математическое ожидание М(Х) случайной величины Х характеризует среднее значение величины Х или среднее ожидаемое значение, или центр распределения случайной величины Х.
Для дискретной случайной величины Х:
;
Для непрерывной случайной величины Х:
.
Свойства М(Х):
1. М(С) = С; С = сonst;
2. М(СХ) = С∙М(Х);
3. М(Х+У) = М(Х)+М(У);
4. М(Х∙У) = М(Х)∙М(У), если Х и У независимые случайные величины.
Дисперсия D(X) случайной величины Х – мера рассеивания возможных значений Х относительно центра распределения М(Х). D(X) равна математическому ожиданию квадрата отклонения значений Х от М(Х):
.
Свойства D(X):
1.
для любой случайной величины;
2. D(C) = 0, C = const.
3. D(CX) = C2∙D(X);
4.
.
Для дискретной случайной величины Х расчетная формула дисперсии:
;
для непрерывной величины:
.
Среднее квадратическое отклонение
случайной величины Х
равно корню квадратному из D(X):
.
Пример 1. На пути движения автомобиля 4 светофора, каждый из которых с вероятностью р = 0,5 разрешает или запрещает движение автомобиля. Составить закон распределения величины Х – количества светофоров, которые автомобиль минует без остановки. Найти числовые характеристики М, D, величины Х, построить график F(x) и многоугольник распределения.
Решение. Возможные значения величины Х: 0, 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений найдем по формуле Бернулли при n = 4, p = 0,5 и q = 0,5.
;
;
;
;
.
Проверка:
.
Таким образом, закон распределения величины Х:
-
хi
0
1
2
3
4
рi
0,0625
0,25
0,375
0,25
0,0625
Найдем числовые характеристики дискретной случайной величины Х.
;
.
Построим многоугольник распределения:
Рис.4. Многоугольник распределения
Построим функцию распределения F(x):
;
;
;
;
;
Рис.5. График функции