Свойства определенного интеграла

1.	2.
3.
4. А = const	5.

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

Определенный интеграл от непрерывной функции f(x) равен разности значений ее первообразной F(x) при х=b и х=а, где а и b нижний и верхний пределы интегрирования, т.е. имеет место формула

где - одна из первообразных функции f (x).

Пример: .

Вычисление площади плоской фигуры

Е сли на отрезке [а; b] функция f(x) ≥ 0, то согласно геометрическому смыслу определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x), осью ОХ и прямыми х=а и х=b, определяется по формуле

.

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ; у = 0; х = 0; х = 3.

Решение. Построим фигуру, площадь которой надо найти. Графиком функции является парабола, симметричная относительно оси ОУ с вершиной в точке В(0;1) (рис. 2).

Тогда:

.

Если фигура ограничена линиями у = f₁(x) и у = f₂(x), где f₂(x) ≥ f₁(x), и прямыми х=а и х= b, то ее площадь определяется по формуле

.

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

, у = 1 – х.

Решение. Построим данную фигуру. Графиком первой функции является парабола, симметричная относительно прямой, параллельной оси ОУ; ветвь параболы направлена вниз (рис.3). Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ: ; ; ; ; . Найдем точки пересечения параболы с ОУ: при х = 0 у = – 5. Построим прямую у = 1 – х: при х = 0 у = 1; при у = 0 х = 1. Найдем точки пересечения параболы и прямой:

Рис. 3

Решим уравнение:

; .

Тогда ; . Точки пересечения А(1: 0); В(6; -5).

4. Задания типа 41-50

3.5.1 Основы теории вероятностей

Математическая наука, которая изучает закономерности массовых событий, называется теорией вероятности.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.

Науку, которая использует теорию вероятностей для обработки численных единиц информации как результатов эксперимента, называют математической статистикой.

Последовательность операций, выполняемых с соблюдением конкретного комплекса условий, называют экспериментом или испытанием.

Результат испытания называют событием.

Пример. Брошена монета – испытание; появление герба – событие.

Наблюдаемые нами события можно подразделить на следующие три вида: достоверные; невозможные; случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти в зависимости от действия многочисленных факторов, учесть которые исследователь не в силах. Случайные события обозначают символами А, В, С.

Пример. В урне находятся 10 одинаковых шаров, пронумерованных от 1 до 10. Наугад берется один шар. Возможны следующие события:

1) появление шара с номером от 1 до 10 – событие достоверное;

2) появление шара с номером 12 – событие невозможное;

3) появление шара с номером 2 – событие случайное.