3.3 Задания типа 21-30

Определение функции. Основные характеристики функций.

В предыдущем задании было дано определение функции, повторим его и рассмотрим основные характеристики функции.

Если каждому значению переменной х из множества Х по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное вполне определенное значение y, то переменную y называют функцией от х.

Записывают или . Говорят ещё, что функция отображает множество Х на множество Y .

Множество Х называется областью определения функции и обозначается . Множество всех называется множеством значений функции и обозначается .

х – независимая переменная величина или аргумент, y – функция или зависимая переменная.

Функция , определенная на множестве называется четной, если для любого выполняется условие и ; нечетной, если для любого выполняется условие и .

График четной функции симметричен относительно оси Оy, нечетной – относительно начала координат.

Функция называется периодической на множестве D, если существует такое число Т>0, что при каждом значении и . При этом число Т называется периодом функции.

Функция называется возрастающей в интервале , если для любых двух точек и из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , если , функция называется неубывающей.

Иными словами – значения возрастающей функции увеличиваются одновременно со значением аргумента.

Функция называется убывающей в интервале , если для любых двух точек и из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , если , функция называется невозрастающей.

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции называются монотонными, а возрастающие и убывающие – строго монотонными.

Производная функции.

Пусть имеем функцию , определенную на некотором промежутке. Рассмотрим два значения аргумента: исходное x₀ и новое x. Разность называется приращением аргумента x в точке x₀ и обозначается .

Разность называется приращением функции в точке x₀ и обозначается символом Δy.

Производной функции называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках x может принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x).

Производная обозначается символами . Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Правила дифференцирования:

1.

2. ; с-const

3. ; с-const

4. , если , т.е.

5. , если и - взаимно обратные функции.

Формулы дифференцирования.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

Примеры:

Пользуясь правилами и формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

1)

Воспользуемся формулой дифференцирования степенной функции :

.

2) .

Воспользуемся формулой производной произведения

Признаки монотонности функции.

1. Если функция дифференцируема на интервале и во всех точках интервала, то функция возрастает на этом интервале.

2. Если функция дифференцируема на интервале и во всех точках интервала, то функция убывает на этом интервале.

3. Если ( ) для всех точек интервала , то функция не убывает (соответственно, не возрастает) на этом интервале, т.е. для

любых двух точек из интервала из неравенства следует (соответственно, ).

Экстремумы функции.

Точка называется точкой максимума функции , если значение является наибольшим в некоторой окрестности этой точки.

Т очка называется точкой минимума функции , если значение является наименьшим в некоторой окрестности этой точки.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Теорема (Ферма – необходимое условие экстремума). Если - точка экстремума для функции , то в этой точке производная функции либо равна нулю , либо не существует.

Точки области определения функции , в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции.

В силу теоремы Ферма экстремумы функции находятся среди ее критических точек.

Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе (слева направо) через критическую точку производная меняет знак с (+) на (-), то точка является точкой максимума; если с (-) на (+), то точкой минимума; если знака не меняет, то экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума. Пусть в точке производная равна нулю , а вторая производная . Тогда, если , то - точка минимума; если , то - точка максимума.

Пример.

Найти экстремумы функции, интервалы возрастания и убывания

.

Решение.

Найдем производную и решим уравнение .

Производная обращается в ноль при или .

Критические точки

Для проверки достаточных условий экстремума и определения интервалов убывания, возрастания составим таблицу. Полезно нанести критические точки на числовую ось.

	+	0		0	+
	Возрастает	0 max	Убывает	-4 min	Возрастает

Производная сохраняет знак в каждом из указанных интервалов. Для его определения выберем в каждом интервале пробную точку и определим знак производной в этой точке. Например, в первом интервале выберем точку . Вычислим , производная больше нуля, функция на этом интервале возрастает и т.д.

При переходе через точку производная меняет знак с «плюса» на «минус», следовательно, точка (-3; 0) точка максимума; (-1;-4) - точка минимума.

Интервалы возрастания функции: .

Интервалы убывания функции: .