3.4 Задача типа 31-40

3.4.1 Понятие неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную или дифференциал. Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию , зная ее производную (или дифференциал ), т.е. найти такую функцию , производная которой равнялась бы .

Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство

или .

Например, первообразной функции , , является функция , т.к. . Очевидно, что первообразными будут также любые функции , где С- константа, т.к. .

x

Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом , т.е. ,

- подынтегральная функция; - подынтегральное выражение;

х– переменная интегрирования; - знак неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная интеграла равна подынтегральной функции , .

2. - неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной;

3. ( где с- константа, ) – постоянный множитель можно выносит за знак интеграла.

4. - неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

5. Инвариантность формулы интегрирования. Если , то , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную. То есть, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

Таблица основных неопределенных интегралов.

1.

2. ( ). В частности .

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11

14. . В частности .

16. . В частности .

2. Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Примеры:

1.

2.

3.

3.4.3 Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции

Пусть функция f(x) определена на отрезке [а; b]. Разобьем этот отрезок на n частей произвольным образом точками х₀ = а < x₁ < x₂ < …< x_n = b.

Пусть – длина i-го частичного отрезка. На каждом элементарном отрезке выберем произвольную точку с_i , вычислим значение функции в этой точке f(с_i), умножим это значение на длину частичного отрезка f(с_i) . Сложив полученные произведения, получим сумму, которая называется интегральной

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [а; b] называется предел последовательности интегральных сумм при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков стремится к нулю, этот предел существует и не зависит от разбиения [а; b] на части и от выбора с_i в них:

Если f(x) ≥ 0 на отрезке [а; b], то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, ограниченной линией у = f (x), осью ОХ и прямыми и (рис. 1).