1. Контрольные задания
Таблица 1.
-
Вариант
Номера задач контрольных заданий
Вариант
Номера задач контрольных заданий
1
1, 11, 21, 31, 41, 51, 61
6
6, 16, 26, 36, 46, 56, 66
2
2, 12, 22, 32, 42, 52, 62
7
7, 17, 27, 37, 47, 57, 67
3
3, 13, 23, 33, 43, 53, 63
8
8, 18, 28, 38, 48, 58, 68
4
4, 14, 24, 34, 44, 54, 64
9
9, 19, 29, 39, 49, 59, 69
5
5, 15, 25, 35, 45, 55, 65
10
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70
2. Задачи для контрольных заданий
Задания 1-10.
Дана система линейных уравнений. Решить систему по формулам Крамера.
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
Задания 11-20.
Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).
11. |
а)
|
12. |
а)
|
13. |
а)
|
14. |
а)
|
15.
|
а)
|
16. |
а)
|
17. |
а)
|
18. |
а)
|
19. |
а)
|
20. |
а)
|
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
Задания 21-30. Найти экстремумы функции, интервалы возрастания, убывания.
21.
|
22.
|
23.
|
24.
|
25.
|
26.
|
27.
|
28.
|
29.
|
30.
|
Задания 31 -40.
Сделать чертеж и вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями.
31. |
|
36. |
|
32. |
|
37. |
|
33. |
|
38. |
|
34. |
|
39. |
|
35. |
|
40. |
|
Задания 41-50.
41. |
В партии из шести деталей вероятность
того, что деталь стандартная 0,7. Наудачу
отобраны три детали. Составить закон
распределения случайной величины Х
– числа стандартных деталей среди
отобранных. Найти числовые характеристики
М(Х), D(Х),
|
42. |
Вероятность отказа прибора за время истечения на надежность равна 0,2. Построить закон распределения случайной величины Х - числа отказавших приборов, если испытанию будут подвергнуты четыре прибора. Найти числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х). |
43. |
Игральная кость брошена три раза. Написать ряд распределения случайной величины Х – числа выпадений шестерки. Найти числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х). |
44. |
Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего– 0,8. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа. Найти числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х). |
45. |
Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа появлений события А. Найти числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х). |
46. |
Вероятность того, что студент найдет в справочнике нужную ему формулу, равна 0,4. Студент просмотрел четыре справочника. Построить ряд распределения числа справочников, в которых студент найдет нужную формулу. Найти числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х). |
47. |
Приобретено четыре лотерейных билета. Составить ряд распределения числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если вероятность выигрыша по одному билету 0,3. Найти числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х). |
48. |
Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий. Найти числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х). |
49. |
Баскетболист делает два штрафных броска. Вероятность попадания в корзину при одном броске 0,6. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий мяча в корзину. Найти числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х). |
50. |
В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Составить ряд распределения числа бракованных изделий из шести взятых наугад. Найти числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х). |
(Х).
Задания 51 - 60.
При изучении случайной величины Х в результате n независимых наблюдений получили выборку. Необходимо:
1. Построить дискретное статистическое распределение для этой выборки, а также полигон относительных частот.
2. Найти: выборочную среднюю
и среднее квадратическое отклонение
;
моду
.
51. |
6, 10, 12, 2, 14, 12, 14, 12, 16, 4, 12, 14, 12, 16, 12, 10, 4, 6, 14, 6, 8, 12, 16, 8, 12, 8, 10, 16, 8, 10, 14, 10, 12, 12, 14, 16,12, 14, 12, 16, 4, 12, 14, 4, 6, 14, 6, 8, 12, 16. |
52. |
25, 15, -5, 15, -10, 15, -15, -5, 10, 15, -10, -5, 15, -5, 5, 15, -10, 5, -5, -5, -5, 10, 5, 10, 5, 10, -5, 10, 15, 10, 15, 20, 25, -5, -10, -15, 25, 15, -5, 15, -10, 15, -15, -5, 10, 15, 10, 15, 20, 25. |
53. |
4, 32, 4, 20, 12, 4, 16, 20, 12, 20, 12, 28, 12, 20, 20, 20, 4, 24, 8, 20, 24, 16, 8, 8, 8, 20, 8, 8, 16, 8, 12, 8, 8, 16, 16, 8, 8, 12, 8, 12, 16, 20, 20, 24, 28, 28, 16, 28, 16, 28. |
54. |
40, 5, 5, 25, 5, 15, 5, 30, 5, 15,5, 20, 5, 5, 20, 5, 25, 5, 10, 10, 25, 30, 25, 10, 35, 10, 25, 10, 30, 25, 25, 30, 10, 40, 10, 10, 15, 15, 40, 15, 15, 20, 20, 25, 25, 25, 30, 30, 35, 35. |
55. |
30, 6, 24, 24, 24, 36, 18, 30, 30, 6, 48, 6, 36, 6, 30, 36, 6, 18, 24, 6, 42, 6, 6, 42, 6, 12, 12, 24, 30, 12, 42, 12, 48, 12, 12, 12, 18, 18, 18, 24,18, 24, 30, 36, 36, 12, 12, 36, 36, 12. |
56. |
56, 7, 7, 14, , 14, 21, 21, 7, 7, 21, 28, 35, 28, 21, 21, 28, 28, 35, 35, 35, 42, 35, 42, 42, 42, 49, 7, 7, 7, 49, 7, 7, 49, 56, 56, 21, 21, 56,14, 7, 14, 14, 56, 14. |
57. |
8, 40, 48, 8, 8, 16, 16, 8, 16, 32, 16, 16, 32, 16, 32, 16, 32, 16, 24, 16, 24, 24, 32, 64, 32, 8, 32, 8, 8, 32, 32, 40, 40, 8, 8, 40, 8, 16, 48, 56, 56, 16, 16, 56, 64, 64, 32, 32,64, 24, 32, 64. |
58. |
17, 24, 24, 3, 3, 10, 10, 17, 17, 3, 3, 17, 52, 17, 24, 24, 31, 31, 31, 3, 10, 10, 31, 31, 38, 38, 38, 3, 3, 3, 38, 17, 17, 38, 38, 3, 38, 38, 45, 45, 10, 10, 45, 45, 45, 24, 24, 31, 31, 45. |
59. |
28, 28, 4, 4, 28, 34, 34, 4, 4, 22, 22, 4, 10, 10, 28, 28, 10, 10, 22, 28, 10, 34, 40, 10, 10, 28, 46, 28, 10, 16, 16, 46, 16, 16, 28, 28, 16, 16, 22, 16, 16, 22, 28, 28, 34, 40, 16, 16, 40, 40. |
60. |
65, 65, 75, 75, 5, 15, 65, 25, 5, 75, 5, 15, 75, 25, 25, 25, 35, 65, 65, 65, 35, 55, 65, 35, 45, 45, 45, 45, 55, 55, 55, 55, 65, 65, 65, 45, 45, 65, 65, 75, 75, 25, 35, 75, 45, 55, 75, 45, 75, 25. |
Задание 61 – 70
Результаты измерений величин X и Y представлены таблицей.
1. Построить в прямоугольной системе
координат заданные точки
.
Убедиться, что величины X
и Y связаны линейной
зависимостью.
2. Составить уравнение регрессии
на
.
Построить полученную прямую.
3. Найти коэффициент корреляции
,
оценить тесноту связи, найти ошибку
коэффициента корреляции.
61. |
x |
16 |
19 |
21 |
18 |
17 |
22 |
25 |
20 |
23 |
17 |
y |
15,1 |
16,9 |
24 |
21,1 |
16,5 |
16,5 |
26,3 |
22,3 |
26,3 |
15,3 |
|
62. |
x |
15 |
17 |
15 |
18 |
19 |
21 |
20 |
19 |
17 |
16 |
y |
17,1 |
18,2 |
16,9 |
19,4 |
20,1 |
24,0 |
23,1 |
19,0 |
17,5 |
18,0 |
|
63. |
x |
12 |
10 |
13 |
11 |
10 |
14 |
15 |
16 |
13 |
12 |
y |
27,9 |
22,0 |
30,5 |
25,4 |
24,1 |
34,0 |
35,2 |
39,2 |
29,7 |
28,0 |
|
64. |
x |
14 |
12 |
13 |
17 |
12 |
15 |
16 |
18 |
17 |
13 |
y |
22,0 |
16,9 |
20,0 |
28,5 |
17,0 |
26,5 |
27,0 |
30,1 |
27,9 |
18,0 |
|
65. |
x |
16 |
14 |
15 |
17 |
19 |
18 |
20 |
19 |
17 |
15 |
y |
17,0 |
13,4 |
15,2 |
18,2 |
22,5 |
20,0 |
25,0 |
23,0 |
18,4 |
14,9 |
|
66. |
x |
19 |
20 |
22 |
23 |
21 |
24 |
20 |
24 |
19 |
23 |
y |
21,0 |
22,9 |
26,9 |
30,9 |
25,1 |
33,0 |
23,5 |
33,2 |
22,1 |
31,2 |
|
67. |
x |
21 |
22 |
25 |
21 |
23 |
25 |
26 |
24 |
23 |
26 |
y |
7,9 |
11,0 |
21,0 |
8,5 |
14,2 |
20,0 |
24,1 |
17,1 |
15,0 |
23,9 |
|
68. |
x |
22 |
23 |
26 |
24 |
27 |
27 |
25 |
28 |
29 |
30 |
y |
6,0 |
8,1 |
14,5 |
10,5 |
16,5 |
1,0 |
12,1 |
18,5 |
20,2 |
22,0 |
|
69. |
x |
27 |
26 |
29 |
28 |
22 |
28 |
27 |
29 |
25 |
31 |
y |
6,5 |
5,0 |
8,3 |
7,4 |
4,0 |
7,2 |
6,5 |
8,4 |
4,0 |
10,0 |
|
70. |
x |
13 |
14 |
12 |
16 |
20 |
19 |
17 |
18 |
17 |
15 |
y |
9,9 |
12,0 |
8,1 |
16,5 |
24,5 |
22,0 |
18,2 |
20,5 |
18,5 |
14,2 |
|
3. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
3.1 Задания типа 1-10
Дана система линейных уравнений
Решить по формулам Крамера. Решение. Дадим некоторые определения и понятия необходимые для решения задачи. Прямоугольная таблица из чисел или иных математических объектов, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей. Обозначается заглавными буквами: А, В, С, D,… Общий вид матрицы
Размерность матрицы m×n . Если число строк n матрицы равно числу столбцов, то такая матрица называется квадратной и n ее порядок.
Пример квадратной матрицы второго
порядка
Пример квадратной матрицы третьего
порядка
Определителем матрицы второго
порядка называется число, равное
разности между произведением чисел,
образующих главную диагональ, и
произведением чисел, стоящих на
побочной диагонали, можно встретить
следующие обозначения определителя:
Пример:
Определителем матрицы третьего порядка называется число или математическое выражение, вычисляемое по следующему правилу
В образованной таблице чисел перемножаются элементы, стоящие на главной диагонали и на диагоналях параллельных главной, знак результата произведения не изменяется. Следующим этапом вычислений является аналогичное перемножение элементов, стоящих на побочной диагонали и на параллельных ей. Знаки у результатов произведений меняются на противоположные. Затем складываем полученные шесть слагаемых. Пример:
Алгебраическим дополнением элемента
определителя
n –го порядка
называется его минор
,
взятый со знаком
Правило вычисления определителя любого порядка: определитель любого порядка n равен сумме произведений элементов какой–либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Найдем определитель третьего порядка путем разложения по элементам первой строки:
Аналогично можно вычислить определитель третьего порядка, разложив по любой строке или столбцу. Удобно раскладывать определитель по той строке (или столбцу), в которой содержится больше нулей.
Пример:
Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными (m=n):
Матрица
Теорема Крамера. Если определитель
матрицы системы n-го
порядка отличен от нуля
Вернемся к нашей системе, решим ее по формулам Крамера. |
.
.
.
;
;
;
detA (детерминант).
.
.
Наиболее простым способом вычисления
определителя третьего порядка является
дописывание снизу определителя двух
первых строк.
Минором элемента
определителя
n –го порядка
называется определитель (n
-1) –го порядка, полученный из данного
определителя вычеркиванием i
–ой строки и j –го
столбца. Минор элемента
определителя
обозначается
.
.
Алгебраическое дополнение элемента
обозначается
.
Следовательно,
.
.
.
,
составленная из коэффициентов, стоящих
перед неизвестными, называется матрицей
системы или главной матрицей.
-
матрица-столбец неизвестных,
-
матрица-столбец свободных членов.
,
то система совместна и имеет единственное
решение, которое определяется по
формулам
.
-
вспомогательный определитель,
полученный из главного путем замены
столбца коэффициентов при хi
на столбец свободных членов. В
частности, для матрицы 3-го порядка
.
1) Вычислим главный определитель системы и вспомогательные определители.
Главный определитель системы составляется из коэффициентов при неизвестных:
Определитель системы отличен от нуля, следовательно, система совместна и имеет единственное решение.
Вычислим вспомогательные определители, чтобы их получить, заменим соответственно первый, второй или третий столбец определителя системы столбцом свободных членов. Определители вычисляем разложением по первой строке:
.
По правилу Крамера:
,
,
.
Ответ: x=2, y=-1, z=3.
Чтобы проверить правильность решения, нужно подставить эти числа в каждое уравнение данной системы и получить верные тождества.