- •Основи математики
- •1 Теоретичні питання основ математики
- •Тема 1. Загальні питання аксіоматики
- •1. Предмет основ геометрії. Історична довідка. Суть аксіоматичного методу.
- •2. Поняття математичної структури, аксіоматичної теорії математичної структури, ізоморфізму математичних структур. Поняття моделі (інтерпретації) системи аксіом.
- •3. Вимоги до системи аксіом.
- •4. Огляд системи аксіом Вейля. Доведення несуперечливості системи аксіом Вейля евклідової геометрії.
- •5. Доведення повноти системи Вейля.
- •Тема 2. Аксіоматичні теорії натуральних, цілих і раціональних чисел.
- •2. Аксіоматичне означення цілих чисел. Множина цілих чисел як розширення множини натуральних чисел.
- •3. Аксіоматичне означення раціональних чисел. Множина раціональних чисел як розширення множини цілих чисел.
- •4. Означення перерізу на множині раціональних чисел. Приклади перерізів.
- •Тема 3. Огляд і порівняння різних аксіоматичних теорій дійсних чисел.
- •1. Огляд побудов теорії дійсного числа.
- •2. Побудова теорії дійсного числа за Дедекіндом.
- •3. Роль аксіоми неперервності в побудові математичного аналізу.
- •Тема 4. Сучасні аксіоматичні теорії евклідової геометрії.
- •1. Побудова аксіоматичної теорії Вейля.
- •2. Побудова евклідової геометрії на базі системи аксіом Гільберта.
- •3. Доведення несуперечливості системи аксіом Гільберта. Арифметична модель.
- •Тема 5. Геометрія Лобачевського
- •1. Відкриття Лобачевського. Неевклідова геометрія.
- •2. Аксіоматична теорія геометрії Лобачевського.
- •3. Дослідження системи аксіом планіметрії Лобачевського. Інтерпретації Пуанкаре.
- •Тема 6. Інші неевклідові геометрії.
- •1. Елементи сферичної геометрії. Точки і прямі в сферичній геометрії. Відстань між точками і кут між прямими.
- •2. Сферичні двокутники та трикутники. Сферичний надлишок. Сферична тригонометрія.
- •3. Аксіоматична теорія псевдоевклідової геометрії. Класифікація прямих і площин псевдоевклідового простору. Основні координатні формули.
- •4. Сфери псевдоевклідового простору. Сферична тригонометрія.
- •5. Інтерпретація планіметрії Лобачевського на сфері уявного радіусу псевдоевклідового простору. Евклідова геометрія як граничний випадок геометрії Лобачевського
- •2 Зміст практичних занять
- •Тема 1: Загальні питання аксіоматики. Вимоги до системи аксіом.
- •Тема 2: Аксіоматичні теорії натуральних, цілих, раціональних та дійсних чисел
- •Тема 3: Системи аксіом евклідової геометрії. Еквівалентність систем аксіом Вейля та Гільберта
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •Тема 4: Наслідки з аксіом перших трьох груп аксіоматики Гільберта. Співвідношення між кутами і сторонами трикутника. Логічний аналіз математичних тверджень.
- •Тема 5: Абсолютна геометрія. Доведення тверджень абсолютної геометрії про суму кутів трикутника. Еквіваленти аксіом неперервності. Чотирикутник Саккері
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •Тема 6: Наслідки з аксіоми паралельності. Еквіваленти п’ятого постулату.
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •Тема 7: Планіметрія Лобачевського.
- •Задачі для самостійного розв’язання.
- •3 Зміст самостійної роботи
- •1. Континуум-гіпотеза
- •2. Підготуватися до обговорення статі «Редукция аксиом линейного пространства» [19]. Дати відповіді на такі запитання:
- •4. Площі та об’єми. Третя проблема Гільберта.
- •5. Розбити наступні теореми на три групи: теореми абсолютної геометрії, наслідки аксіоми паралельності Евкліда, наслідки аксіоми паралельності Лобачевського.
- •6. Підготувати доповідь за темою:
- •7. Впорядкованість на множині дійсних чисел
- •8. Ознайомитись із доведенням незалежності аксіоми індукції системи аксіом множини натуральних чисел [14].
- •9. Побудувати ізоморфне відображення моделі Пуанкаре геометрії Лобачевського на евклідовій півплощині на модель геометрії Лобачевського в одиничному крузі. Індивідуальне завдання
- •1. Користуючись системою аксіом Вейля планіметрії Евкліда довести, що:
- •2. Довести, що п'ятий постулат Евкліда еквівалентний твердженню
- •3. Довести справедливість тверджень в геометрії Лобачевского
- •Підсумковий тест
- •Література
- •Питання до заліку
- •II. Аксіоми порядку
- •III. Аксіоми конгруентності
- •2. Аксіоми порядку:
- •3. Аксіоми руху:
- •4. Аксіома неперервності:
- •5. Аксіома паралельності:
- •2. Аксіоми множення.
- •Основи математики
1 Теоретичні питання основ математики
Тема 1. Загальні питання аксіоматики
Мета: Ознайомитися з принципами побудови теорій математичних структур аксіоматичним методом, вимогами до систем аксіом математичних структур.
План:
1. Предмет основ геометрії. Історична довідка. Суть аксіоматичного методу.
2. Поняття математичної структури, аксіоматичної теорії математичної структури, ізоморфізму математичних структур. Поняття моделі (інтерпретації) системи аксіом.
3. Вимоги до системи аксіом.
4. Огляд системи аксіом Вейля. Доведення несуперечливості системи аксіом Вейля евклідової геометрії.
5. Доведення повноти системи Вейля.
Ключові поняття: система аксіом, математична структура, модель системи аксіом, ізоморфізм моделей.
1. Предмет основ геометрії. Історична довідка. Суть аксіоматичного методу.
В математиці, на відміну від експериментальних наук, основна частина її положень не може бути перевірена експериментально. Тому в математиці переважає логічний спосіб доведення. Це пояснюється абстрактним характером об’єктів.
Аксіоматична побудова математики стала можливою після накопичення великої кількості математичних фактів. Перша спроба аксіоматичної побудови математики була зроблена в 3 ст. до н.е. в Стародавній Греції Евклідом. Ним була написана робота «Начала», яка складалася з 13 книг. В «Началах» Евкліда формулюються аксіоми та постулати, доводяться теореми на основі теорем та постулатів. Незважаючи на наявність недоліків в запропонованій Евклідом аксіоматичній побудові геометрії, «Начала» до середини 19 сторіччя вважалися зразком наукової строгості.
В розвитку аксіоматичного методу виділяють три етапи:
1. Від Евкліда до середини 19 сторіччя.
2. Середина 19 сторіччя. Цей період пов’язаний з відкриттям Лобачевським неевклідової геометрії. Також в цей час активно створюються інші аксіоматики евклідової геометрії: Гільберта, Вейля та ін.
3. На початку 20 сторіччя виникли труднощі в обґрунтуванні математики, обумовленні появою парадоксів в теорії множин. Для подолання цих труднощів Гільберт запропонував свою теорію доведень, яка була названа метаматематикою.
Аксіоматичний метод є цінним інструментом наукових досліджень, за допомогою якого вдається розкрити зв’язки між поняттями та математичними теоріями. Він дозволяє зробити викладення теорії математично строгим.
Геометрія вивчає властивості та відношення низки понять: точка, пряма, кут, коло и т.п. При цьому до їх наукового викладу пред’являються вимоги послідовності, логічного зв’язку та ін.. Цього можна досягти шляхом чіткого розбиття всього матеріалу геометрії на ряд точно сформульованих тверджень, якими є аксіоми, теореми, означення.
Аксіомою називається твердження, яке приймається без доведення. Твердження, справедливість якого перевіряється доведенням, називається теоремою. Під доведенням розуміють ланцюжок тверджень, які випливають одне з іншого за правилами логіки. Строго довести яке-небудь твердження означає вивести його з аксіом.
Твердження, що встановлює зміст нового поняття та розкриває смисл нового терміну, називається означенням. Як правило, означення нового поняття дається на базі раніше означених, тобто маємо справу з неперервним ланцюжком означень. Тому виникає необхідність прийняти без означення деякі поняття. Їх називають основними або неозначуваними. Основні поняття діляться на основні об’єкти та основні відношення.
Таким чином, дедуктивна схема викладення теорії полягає в наступному:
перераховуються основні поняття;
з їх допомогою даються означення інших понять;
формулюються аксіоми (система аксіом);
на базі аксіом доводяться теореми.
Звичайно, у виборі аксіом, які покладаються в основу теорії, є певний ступінь довільності. Але зазвичай аксіоми виникають природним чином, з пізнання дійсності.
Суть аксіоматичного методу полягає в наступному:
кожне поняття повинно бути або внесено до списку неозначуваних понять, або означене;
кожне твердження повинно бути або внесено до списку аксіом, або доведене.
Характерною рисою аксіоматичного методу є його абстрактність. Про основні поняття відомо лише те, що про них сказано в аксіомах, вони позбавлені конкретного змісту.