Тема 3: Системи аксіом евклідової геометрії. Еквівалентність систем аксіом Вейля та Гільберта

Мета: Порівняти аксіоматичні теорії евклідової геометрії, побудовані на базі систем аксіом Вейля та Гільберта.

Методичні рекомендації. Математична структура «евклідова геометрія» може бути побудована на базі різних систем аксіом. Порівняння різних аксіоматичних теорій евклідової геометрії є важливим для розуміння аксіоматичного методу як засобу для її обґрунтування. Доведення еквівалентності систем Вейля і Гільберта підкреслює той факт, що такі різні системи аксіом дозволяють побудувати теорію однієї математичної структури.

Приклади розв’язання задач

Розв’язати задачі в аксіоматичній теорії Вейля:

Задача 1. Довести, що середня лінія трапеції паралельна її основам та дорівнює їх півсумі.

Розв’язання.

Р озглянемо трапецію з основами і та середньою лінією . Доведемо, що

1.

2. .

Користуючись аксіомами 1.3, 1.4, 2.3, 5.2, можна записати

та . Або . Сума отриманих векторних рівностей дає векторну рівність . З визначення трапеції випливає, що , тобто або . З цього випливає, що .

Доведемо другу властивість середньої лінії трапеції. Для цього треба скористатись такою властивістю векторів:

якщо , то . Оскільки то з векторної рівності отримаємо скалярну рівність

,

яку і требі було довести.

Задача 2. Довести, що діагоналі прямокутника рівні між собою.

Д оведення. Розглянемо прямокутник з діагоналями та . Доведемо, що .

Виразимо вектори діагоналей через вектори сторін прямокутника за аксіомою 5.2:

та .

Знайдемо скалярні квадрати обох векторів, отримаємо

та .

Оскільки – прямокутник, то , , та . З цього випливає, що знайдені скалярні квадрати векторів рівні, а значить і довжини цих векторів рівні, тобто . Доведено.

Задача 3. Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці.

Д оведення. Спочатку визначимо положення точки, що ділить відрізок в даному відношенні.

Умова ділення рівносильна векторній рівності , . За аксіомою 5.2 , , і рівність набуває вигляду або , звідки .

Далі розглянемо трикутник . Проведемо в ньому медіани , та . Доведемо, що всі вони перетинаються в одній точці.

Нехай медіани та перетинаються в точці О. Запишемо векторне співвідношення для третьої медіани . Нехай , тоді . Аналогічно, якщо , тоді . За теоремою про однозначність розкладу вектора по одним і тим же лінійно незалежним векторам отримаємо , що рівносильне системі рівнянь відносно невідомих , з якої . Таким чином, . Остання векторна рівність дає висновок про належність точки О медіані .

Задача 4. Користуючись системою аксіом Вейля евклідової планіметрії довести, що для будь-яких трьох точок справедлива нерівність трикутника: .

Доведення. За аксіомою для будь-яких точок вірна рівність . Тоді . За нерівністю Коші-Буняковського для будь-яких векторів маємо . Отже, , звідки і отримаємо .