5.2 Гипербола
Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое
уравнение гиперболы
(5.2)
Рис.13
Гипербола,
заданная уравнением (5.2), симметрична
относительно осей координат (рис. 13).
Она пересекает ось
в точках
и
−
вершинах гиперболы и не пересекает ось
.
Параметр
называется вещественной полуосью,
мнимой
полуосью. Параметр
есть
расстояние о фокуса до центра. Отношение
называется эксцентриситетом гиперболы.
Эксцентриситет
для гиперболы
Прямые
называются асимптотами гиперболы.
Пример
38.
Построить
гиперболу
Найти 1) действительную и мнимую полуоси;
2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет;
4) уравнения асимптот.
Решение.
1) Запишем уравнение гиперболы в
канонической форме
Действительная полуось гиперболы
мнимая
полуось
2) Найдем
Фокусы гиперболы
3) Эксцентриситет
найдем по формуле
4) Уравнения асимптот
Построим гиперболу.
Рис. 14
5.3 Парабола
Определение.
Параболой называется геометрическое
место точек плоскости, для которых
расстояние до некоторой фиксированной
точки
равно расстоянию до некоторой фиксированной
прямой этой плоскости. Указанная в
определении точка
называется фокусом параболы, а
фиксированная прямая- директрисой
параболы.
Рис. 15
Отсюда
Это уравнение называется каноническим
уравнением параболы. Величина
называется
параметром параболы.
Пример
39. Построить
параболу
Найти 1) координаты фокуса; 2) уравнение
директрисы.
Решение.
Из уравнения параболы получаем
Значит, парабола имеет фокус
а уравнение директрисы
Построим параболу
Рис. 16
Пример
40. Установить
вид кривой второго порядка
Решение.
Сгруппируем слагаемые с переменной
и
с переменной
.
Выделим
полные квадраты:
Имеем
Разделив обе части равенства на 36,
окончательно получаем
уравнение
эллипса с центром в точке
и полуосями
6. Задачи для самостоятельного решения
1.
Найти длину вектора
,
если
2.
Найти длину вектора
3.
Найти скалярное произведение векторов
если
4. Найти
скалярное произведение векторов
если
5. Найти
косинус угла между векторами
и
если
6. Найти
косинус угла между векторами
и
7.
Перпендикулярны ли векторы
и
?
8. При
каком значении
векторы
и
перпендикулярны?
9. При
каком значении
векторы
и
коллинеарны?
10. Найти
векторное произведение векторов
и
11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
и
12. Найти
площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
если
13. Найти
площадь треугольника с вершинами в
точках
14. Найти
,
если
,
15. Векторы
образуют
правую тройку, взаимно перпендикулярны
и
Вычислить
16.
Компланарны
ли векторы
17.
Образуют ли векторы
базис в
пространстве
18. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах
19. Найти
объем тетраэдра с вершинами в точках
20. Лежат
ли точки
в
одной плоскости?
21.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно вектору нормали
22.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку
параллельно направляющему вектору
23. Написать уравнение прямой, отсекающей на осях отрезки длиной 5 и 7 соответственно.
24.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точки
и
25.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку
параллельно
прямой
.
26.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно
прямой
.
27.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку
и
составляющей с осью
угол
.
28.
Параллельны ли прямые
и
?
29.
Перпендикулярны ли прямые
и
?
30.
Вычислить расстояние от точки
до прямой
31.
Найти угол между прямыми
и
.
32.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку
перпендикулярно вектору нормали
33.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через три заданные точки
34. Написать уравнение плоскости, отсекающей на осях , и отрезки длиной 2, 7 и 5 соответственно.
35.
Вычислить расстояние от точки
до плоскости, проходящей через точки
36. Найти
угол между плоскостями
и
.
37.
Параллельны ли плоскости
и
?
38.
Перпендикулярны ли плоскости
и
?
39.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку
параллельно вектору
40.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точки
41.
Принадлежит ли плоскости
точка
?
42. Найти
эксцентриситет эллипса
43.
Написать уравнения асимптот гиперболы
44.
Установить вид кривой второго порядка
.
45. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 6, а малая полуось равна 4.
46.
Установить вид кривой второго порядка
