3.3 Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Найдем уравнение плоскости , проходящей через три точки пространства , не лежащие на одной прямой . Возьмем на плоскости произвольную точку и составим векторы Эти векторы лежат на плоскости , следовательно, они компланарны. Используя условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем

т.е.

(3.3)

уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пример 28. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Решение. Применим формулу (3.3). Получаем

Воспользуемся правилом треугольника для раскрытия определителя 3-го порядка.

Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

имеет вид

3.4 Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам

Пусть в пространстве задана точка и два неколлинеарных вектора и . Через данную точку параллельно данным векторам можно провести единственную плоскость . Возьмем произвольную точку в плоскости . Векторы , и компланарны, т.е. искомое уравнение плоскости

(3.4)

Пример 29. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и два вектора

Решение. Векторы и неколлинеарны, т.к. их координаты непропорциональны. Следовательно, можно воспользоваться уравнением (3.4). Получим

Вычисляя определитель, имеем . Приведем подобные члены и получим общее уравнение плоскости

3.5 Уравнение плоскости в отрезках на осях

Пусть на координатных осях заданы точки, отличные от начала координат на оси на оси , на оси Тогда уравнение плоскости, в отрезках на осях имеет вид

(3.5)

где отрезки, отсекаемые плоскостью соответственно на осях , и

Рис. 10

Пример 30. Написать уравнение плоскости, отсекающей на осях , и отрезки длиной 3, 6 и 4 соответственно.

Решение. Применим уравнение (3.5). В нашем случае Имеем Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дробей. Тогда получим общее уравнение плоскости

Пример 31. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точки

параллельно вектору

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости по точке и двум векторам. Векторы и неколлинеарны, следовательно, используя формулу (3.4) запишем уравнение плоскости в виде

.

Вычисляя определитель, получим

или

Так как в последнем уравнении отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.

3.6 Расстояние от точки до плоскости

Пусть задана точка и плоскость своим уравнением

. Расстояние от точки до плоскости находится по формуле

(3.6)

Пример 32. Вычислить расстояние от точки до плоскости

Решение. Для заданной плоскости вектором нормали будет вектор Подставим в формулу (3.6)

и вычислим расстояние от точки до плоскости

3.7 Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть заданы две плоскости и :

Если плоскости и перпендикулярны, то таковы же их нормали, т.е (и наоборот). Но тогда , т.е. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей и .

Если плоскости и параллельны, то будут параллельны и их нормали и (и наоборот). Но тогда координаты векторов пропорциональны: Это и есть условие параллельности двух плоскостей

и .

Пример 33. Перпендикулярны ли плоскости и ?

Решение. Выпишем векторы нормали к плоскостям Вычислим их скалярное произведение Следовательно, плоскости перпендикулярны.