4 Прямая в пространстве

4.1 Общие уравнения прямой

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей:

(4.1)

Каждое уравнение этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны, то система определяет прямую как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы. Уравнения (4.1) называют общими уравнениями прямой.

4.2 Канонические уравнения прямой

Пусть направляющий вектор прямой и - точка, лежащая на этой прямой. Вектор , соединяющий точку с произвольной точкой прямой , параллелен вектору . Поэтому координаты вектора и вектора пропорциональны:

(4.2)

Уравнения (4.2) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 34. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору

Решение. Воспользуемся уравнением (4.2):

Итак, получаем каноническое уравнение прямой

4.3 Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через точки . В качестве направляющего вектора можно взять вектор

т.е. (рис. 11)

Рис. 11

Следовательно, Поскольку прямая проходит через точку , то согласно уравнениям (4.2), уравнение прямой имеет вид

(4.3)

Пример 35. Написать уравнение прямой, проходящей через точки

Решение. Воспользовавшись уравнением (4.3), получим:

или

5 Кривые второго порядка

5.1 Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

При этом не исключается совпадение фокусов. Очевидно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Рис. 12

Каноническое уравнение эллипса (5.1)

Величины и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса

Замечание. В предельном случае, когда эллипс представляет собой окружность радиуса

Пусть , тогда фокусы и находятся на оси на расстоянии от центра.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется величина

Замечание. Учитывая связь величины с длинами и большой и малой полуосей эллипса, легко получить следующее выражение для эксцентриситета :

Пример 36. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что:

1) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось 2) большая полуось а эксцентриситет 3) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет 4) расстояние между фокусами равно 6, а 5) расстояние между фокусами равно а

Решение. 1) Так как расстояние между фокусами равно 8 имеем Найдем большую полуось эллипса по формуле Имеем Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид

2) Найдем из формулы Определим меньшую полуось эллипса по формуле Тогда Каноническое уравнение эллипса имеет вид

3) По условию . По формуле найдем большую полуось эллипса Меньшая полуось Каноническое уравнение эллипса

4) По условию Из равенства выразим и подставим в равенство Получим и Каноническое уравнение эллипса

5) Из условия находим Из равенства выразим и подставим в равенство Получим откуда Тогда . Каноническое уравнение

Пример 37. Эллипс проходит через точки и Написать его каноническое уравнение.

Решение. Так как эллипс проходит через точки их координаты удовлетворяют каноническому уравнению эллипса. Имеем

Уравнение эллипса имеет вид