Свойства векторного произведения

1. векторы и – коллинеарны. В частности .

2. (антикоммутативность).

3. , для любого (однородность).

4. ,

(дистрибутивность).

Если векторы , заданы своими координатами в базисе , т.е. то

(1.5)

Пример 6. Найти векторное произведение векторов и Решение. Воспользуемся формулой (1.5)

Пример 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

и

Решение. Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах

и , как длину их векторного произведения, т.е.

. Сначала найдем

.

Пример 8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если

Решение. Согласно 1-му пункту определения векторного произведения имеем: =

Пример 9. Найти площадь треугольника, построенного на векторах если

Решение.

При вычислении воспользовались свойствами векторного произведения 1-4, т.е.

Пример 10. Найти площадь треугольника с вершинами в точках

Решение. составляет половину площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах. Найдем координаты векторов Вычислим :

Пример 11. Найти , если ,

Решение. Найдем координаты векторов и

Вычислим

Найдем длину векторного произведения:

1.4 Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т.е. .

Геометрический смысл смешанного произведения выражает следующая теорема.

Теорема. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , , , взятому со знаком «плюс», если тройка векторов , , правая, и со знаком «минус», если тройка векторов , , левая. Если же векторы , , компланарны, то .

В краткой записи:

Доказательство видно из рисунка.

Свойства смешанного произведения

1. .

2. Величина векторного произведения не изменяется при циклической перестановке сомножителей:

3. векторы компланарны.

4. Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей. В частности,

.

Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей

Теорема. Если векторы заданы своими координатами: , , , то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.

. (1.6)

Пример 12. Компланарны ли векторы

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов по формуле (1.6) , следовательно, векторы  компланарны.

Пример 13. Образуют ли векторы базис в пространстве

Проверим, компланарны ли векторы . Для этого вычислим их смешанное произведение

следовательно, векторы некомпланарны, а значит, образуют базис в пространстве

Пример 14. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и Вычислить

Решение.

Пример 15. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

Решение.

Пример 16. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках

Решение. Найдем координаты векторов

Вычислим объем параллелепипеда, построенного на векторах

Пример 17. Лежат ли точки в одной плоскости?

Решение. Найдем координаты векторов

Проверим, компланарны ли векторы

, для этого вычислим их смешанное произведение:

следовательно, векторы некомпланарны, а, значит, точки не лежат в одной плоскости.