1.2 Скалярное произведение и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается Итак, по определению

где (1.2)

Если хотя бы один из векторов или равен , то скалярное произведение полагается равным 0.

Свойства:

1) переместительный закон.

2) сочетательное свойство относительно скалярного множителя

3) распределительный закон.

4)

5) Для того чтобы ненулевые векторы и были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

6) Если векторы и заданы координатами: то

(1.3)

Из формулы (1.2) найдем

(1.4)

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов если

Решение. Воспользовавшись свойствами скалярного произведения 1-4 и формулой (1.2), получим

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов если

Решение. Найдем координаты векторов и . Вычислим

тогда

тогда

Воспользовавшись формулой (1.3), получим

Пример 4. Найти косинус угла между векторами и если

Решение. Найдем координаты векторов и :

Применяя формулу (1.4), получим

=

Пример 5. Перпендикулярны ли векторы и

Решение. Вычислим скалярное произведение ненулевых векторов .

следовательно, векторы и перпендикулярны (в силу свойства 5).

1.3. Векторное произведение векторов

Результатом перемножения двух векторов может быть не только скаляр, но и вектор. Понятие векторного произведения, о котором пойдет речь в этом пункте, является объектом изучения теории трехмерного евклидова пространства. В евклидовом пространстве, число измерений которого отлично от трех, не имеется аналогий этого понятия.

Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой – вторым и какой – третьим. При записи тройки векторов мы всегда будем располагать эти векторы в порядке их следования (если для нас будет небезразличен порядок набора). Так, запись , , означает, что первым элементом тройки является вектор , вторым – вектор и третьим – вектор .

Упорядоченная тройка некомпланарных¹ векторов , , называется правой, если, находясь внутри трехгранного угла, образованного приведенными к общему началу векторами , , , мы видим кратчайший поворот от к и от него к совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Удобное практическое правило определения правой тройки: упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , является правой, если после приведения к общему началу векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом (или ) и удовлетворяющий следующим трем требованиям:

1. длина вектора равна , где – угол между векторами и , т.е. площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах;

2. вектор ортогонален плоскости векторов и ( , );

3. векторы , , образуют правую тройку векторов.

Требования 1 и 2 определяют вектор с точностью до двух взаимно противоположных направлений; требование 3 отбирает одно из этих двух направлений. В случае, когда и коллинеарные, тройка , , является компланарной, но в этом случае уже из требования 1 следует, что .

П онятие векторного произведения (так же, как и скалярное произведение²) родилось в механике. Если вектор изображает приложенную в некоторой точке силу, а вектор идет из некоторой точки в точку , то вектор представляет собой момент силы относительно точки .