1.2 Основные операции с силами в статике

В статике вводят некоторые операции над силами, используя которые удается сформулировать решения задачи статики наиболее компактно и удобно.

Эти операции следующие:

- для плоской, или двухмерной статики

• проекция силы на ось;

• алгебраический момент силы;

• алгебраический момент пары сил.

- для пространственной, или трехмерной статики

• проекция силы на плоскость;

• проекция силы на ось;

• векторный момент силы;

• осевой момент силы;

• векторный момент пары сил.

Рассмотрим эти операции отдельно для плоской и пространственной задач.

1. Операции с силами в плоской (двухмерной) статике

Проекция силы на ось

Рис.1.10

Остановимся более подробно на формулировке понятия «проекция силы на ось».

Проекцией силы на ось 0x называется скалярная величина F_X, равная произведению модуля силы F на косинус угла между силой и положительным направлением оси:

FX = F·cos .

(1.6)

Проекция силы на ось:

• положительна, если угол -острый;

• равна нулю, если угол - прямой (сила перпендикулярна оси);

• отрицательна, если угол - тупой.

Геометрически проекция F_X вектора соответствует расстоянию между основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора на рассматриваемую ось (рис.1.10).

Алгебраический момент силы

Рис.1.11

Алгебраическим моментом силы (обозначается или М_о(F)) называют взятое с соответствующим знаком произведение модуля силы (F) на плечо (h):

Мо( )=± F·h.

(1.7)

Плечом силы относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, то есть длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы (АВ).

Алгебраический момент силы - скалярная величина. Её значение зависит как от самой силы , так и от взаимного расположения вектора силы и точки, относительно которой считается алгебраический момент (рис.1.11).

Правило знаков алгебраических моментов сил: момент считается положительным, если сила стремится повернуть тело относительно точки 0 против хода часовой стрелки, и отрицательной - по ходу часовой стрелки.

Рис.1.12

Так рис.1.11 соответствует положительному знаку алгебраического момента.

Для сил и , изображенных на рис.1.12, их алгебраические моменты относительно центра (точки О) соответственно равны:

M₀( ) = P · h₁;

M₀( ) = -Q · h₂.

Алгебраический момент силы имеет размерность нм, что вытекает из определяющей формулы этой величины.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Сформулируйте понятие «алгебраический момент силы».

2. Что значит «плечо силы»?

3. Как определяется знак алгебраического момента силы?

Алгебраический момент пары сил

Пара сил (рис.1.13) – система двух равных, параллельных, противоположно направленных сил, линии действия которых не совпадают.

Силы пары математически соотносятся так:

= -

(1.8)

Их модули равны:

F2 = F1= F

(1.9)

Плоскость, в которой лежат силы, образующие пару, называется плоскостью действия пары.

Рис.1.13

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары d (рис.1.13).

Пара сил не имеет равнодействующей. Она стремится сообщить телу некоторое вращение.

Вращательный эффект пары сил характеризуется величиной, называемой моментом пары.

Отсюда следует следующее правило (без вывода):

Пары сил могут быть преобразованы путем изменения величин и направлений сил и изменения плеча пары. Если при этом алгебраический момент пары сохраняется, то оказываемый ею на тело вращательный эффект не изменится, или пары сил с равными алгебраическими моментами эквивалентны.

Алгебраический момент пары сил (обозначается M(F₁,F₂) ) равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары:

M=± F·d.

(1.10)

Рис.1.14

Правило знаков моментов пар сил аналогично правилу для моментов сил: момент считается положительным, если силы пары стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным - по ходу часовой стрелки.

Для показанных на рис.1.14 пар сил ( , ') и ( , ') их моменты имеют противоположные знаки: M₁=P·d₁; M₂=-Q·d₂.

Поскольку действие пары сил на тело полностью характеризуется её моментом, на рисунках пару сил принято изображать дуговой стрелкой, показывающей направление действия момента (рис.1.14).

Теорема о сумме моментов сил пары

Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любого центра, лежащего в плоскости её действия, не зависит от выбора центра и равна моменту пары.

Рис.1.15

Докажем это (рис.1.15). Имеем пару сил ( ₁; ₂), момент которой равен М= F₁ d= F₂ d. Найдем моменты относительно точки О₁ силы и силы , а затем сумму моментов этих сил.

М₀( )= -F₁ а;

М₀( )= F₂ (d+ a).

Так как F₁ = F₂, то:

М₀( )+М₀( )= - F₁ а + F₂ (d+ a)= F₂ d = М,

т.е. моменту пары сил. Окончательно:

М0( )+М0( ) = М.

(1.11)

Полученная оценка не зависит от местонахождения центра (точки О). Таким образом, теорема доказана.

Следствие

Пары сил могут быть перемещены в любое место абсолютно твердого тела, при этом оказываемый ими вращательный эффект на тело не изменится.⁶

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что такое «пара сил»?

2. Что значит «плечо пары»?

3. Как определяется алгебраический момент пары и его знак?