Типовой расчет №2

ТР-12 "Аналитическая геометрия"

171

x ¡ 3

=

y ¡ 3

=

z

2

0

¡3.

x ¡ 1

y + 2

z ¡ 4

84.8. Найти координаты точки пересечения прямой

=

=

è ïëîñ-

кости

6x + 4y + 2z ¡ 70 = 0

.

3

¡1

1

84.9. Найти расстояние от точки M(2; ¡3; ¡1) до плоскости 1(x ¡ 2) ¡ 2(y + 3) ¡

2(z ¡ 2) = 0.

84.10. Найти косинус угла между плоскостями 1x + 2y ¡ 2z ¡ 5 = 0 è 0(x ¡ 3) +

5(y + 3) + 0(z ¡ 3) = 0.

84.11. Найти синус угла между прямой

x ¡ 1

=

y ¡ 1

=

z + 3

8

¡4

и плоскостью

.

1

¡2x ¡ 3y ¡ 6z ¡ 6 = 0

84.12. Провести плоскость через три данные точки A(0; 2; 4), B(¡3; 4; ¡2), C(4; 1; ¡4).

84.13. Провести плоскость через прямую

x ¡ 4

=

y

=

z + 3

M(4; 3;

¡

3).

2

2

и точку

3

¡

x + 7

y + 1

z + 2

84.14. Провести плоскость через параллельные прямые

=

=

12

¡1

2

è

x + 3

=

y ¡ 2

=

z ¡ 2

12

¡1

2 .

84.15. Найти расстояние от точки M(5;

¡

2; 4) до прямой

x

=

y + 4

=

z ¡ 5

1

4

2 .

1)

84.16.

Выполнить следующие действия:

¡

¡

провести плоскость через первую прямую параллельно второй прямой;

2)

найти расстояние между скрещивающимися прямыми;

3)

провести общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым.

x + 2

=

y ¡ 3

=

z ¡ 4

x ¡ 3

=

y + 2

=

z + 3

1

3

1 è 2

0

¡3 .

84.22.

Построить кривую, заданную параметрически

½ y

=

7 ¡ 2 cos 2t

x

=

6 sin2 2t ¡ 3

84.24. Определить тип и привести уравнение кривой второго порядка к канони-

ческому виду 6x2 + 12xy + 6y2 ¡ 3x + 7y ¡ 2 = 0.

84.25. Уравнение 6x2 ¡ 4y = 0 описывает

1)

Однополостный гиперболоид

2) Гиперболический параболоид

3)

Пару плоскостей

4) Гипеболический цилиндр

5)

Параболический цилиндр

6) Эллиптический цилиндр

84.26. Уравнение 3x2 ¡ 8y2 = ¡7 описывает на плоскости

1)

Эллипс

2) Пару пересекающихся прямых

3)

Точку

4) Гиперболу

5)

Пару параллельных прямых

6) Параболу

ТР-12 "Аналитическая геометрия"

173

Вариант

2 - 85

85.1. Через точку M(1; 0; 0) провести прямые параллельно и перпендикулярно

данной прямой y = 3x ¡ 3.

85.2. Вычислить тангенс угла между прямыми 3x + 4y ¡ 3 = 0 è y = 3x ¡ 1.

85.3. Вычислить расстояние от точки M(3; ¡3) до прямой 2(x ¡ 4) ¡ 3(y ¡ 3) = 0.

85.4. Привести к нормальному виду уравнение прямой

x

y

= 1.

¡

¡4

3

85.5. Найти координаты основания высоты BD треугольника ABC, уравнения

стороны BC, высоты BD, медианы AM, åñëè A(1; ¡3), B(¡5; 10), C(17; 17).

85.6. Провести плоскость через точку M(2; ¡2; 1) параллельно плоскости

7x ¡ 4y + 10z ¡ 1 = 0.

85.7. Провести плоскость через точку M(¡3; 3; ¡3) перпендикулярно прямой

6x ¡ 3y + 4z + 3 = 0

½ ¡2x + y ¡ z + 2 = 0

x ¡ 1

y ¡ 4

z ¡ 2

85.8. Найти координаты точки пересечения прямой

=

=

2

кости 4x + 3y ¡ 3z ¡ 18 = 0.

1

3

è ïëîñ-

85.9. Найти расстояние от точки M(0; 1; ¡1) до плоскости 2x ¡ 2y ¡ z + 5 = 0.

85.10.

Найти косинус угла между прямыми

x ¡ 2

=

y ¡ 1

=

z ¡ 3

x + 4

=

2 , è

2

y ¡ 2

=

z + 4

¡2

¡1

¡4

x + 6

y + 2

z

4 .

85.11.

Найти синус угла между прямой

=

=

и плоскостью 3x ¡2y ¡

0

¡

3

4

.

6z ¡ 4 = 0

85.12. Провести плоскость через три данные точки A(¡2; ¡4; 4), B(¡4; ¡1; ¡4),

C(3; 1; ¡3).

½

4x + 2y + z ¡ 1

¡

85.13.

Провести плоскость через прямую

=

0 и точку

5x ¡ 2y ¡ 4z ¡ 1

=

0

M(0; 4;

1).

85.14. Провести плоскость через параллельные прямые

x + 21

=

y + 1

=

z + 4

6

è

x + 1

=

y ¡ 3

=

z + 1

¡3

3

6

¡3

3 .

85.15. Найти расстояние от точки M(3; 4; 4) до прямой

2x + 3y ¡ 4z ¡ 1 = 0

85.16.

½

¡2x ¡ y + 3z + 3 = 0

1)

Выполнить следующие действия:

провести плоскость через первую прямую параллельно второй прямой;

2)

найти расстояние между скрещивающимися прямыми;

3)

провести общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым.

x ¡ 2

=

y + 2

=

z ¡ 2

x ¡ 2

=

y + 2

=

z ¡ 3

¡3

¡1

3 è 2

1

¡4 .

85.22.

Построить кривую, заданную параметрически

½ y

=

7 sin 4t ¡ 3

x

=

3 cos 4t ¡ 6

85.24. Определить тип и привести уравнение кривой второго порядка к канони-

ческому виду 4x2 ¡ 6xy + 2y2 + 5x + 2y ¡ 2 = 0.

85.25. Уравнение 9x2 + 4y2 + 2z2 = 6 описывает

1)

Гиперболический параболоид

2)

Однополостный гиперболоид

3)

Двуполостный гиперболоид

4)

Конус

5)

Эллиптический цилиндр

6)

Эллипсоид

85.26. Уравнение 4x2 + 5y = 3 описывает на плоскости

1)

Пару параллельных прямых

2) Параболу

3)

Эллипс

4) Гиперболу

5)

Точку

6) Пару пересекающихся прямых

ТР-12 "Аналитическая геометрия"

175

x ¡ 3

=

y ¡ 3

=

z ¡ 4

0

¡2

1 .

x ¡ 4

y + 2

z + 1

86.8. Найти координаты точки пересечения прямой

=

=

3

кости

.

¡1

¡2 è ïëîñ-

6x ¡ 2y ¡ 2z ¡ 150 = 0

3(y ¡ 2) + 0(z + 1) = 0.

86.11. Найти синус угла между прямой

x + 1

=

y + 4

=

z + 5

8

¡4

¡1 и плоскостью

3x ¡ 2y ¡ 6z ¡ 2 = 0

.

86.12. Провести плоскость через три данные точки A(3; 1; 0), B(3; 1; 2), C(¡3; ¡1; 1).

86.13. Провести плоскость через прямую

x + 4

y + 2

z + 4

=

=

и точку M(5; 3; ¡4).

¡2

4

¡2

86.14. Провести плоскость через параллельные прямые

x ¡ 23

=

y + 2

=

z + 4

x ¡ 1

=

y + 1

=

z ¡ 1

0

¡2

1 è

0

¡2

1 .

86.15. Найти расстояние от точки M(3;

3;

4) до прямой

x ¡ 2

=

y + 1

=

z + 2

1

86.16.

¡

¡

¡

1

1 .

1)

Выполнить следующие действия:

провести плоскость через первую прямую параллельно второй прямой;

2)

найти расстояние между скрещивающимися прямыми;

3)

провести общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым.

x ¡ 2

=

y ¡ 4

=

z + 3

x + 3

=

y ¡ 2

=

z ¡ 2

¡2

¡3

3 è ¡4

¡1

¡2 .

86.22.

Построить кривую, заданную параметрически

½ y

=

4 cos 4t + 2

x

=

7 sin 4t ¡ 2

86.23. Определить тип и привести уравнение поверхности второго порядка к ка-

ноническому виду 5x2 ¡ y2 ¡ 6z2 + 20x + 10y ¡ 6z ¡ 12 = 0.

86.24. Определить тип и привести уравнение

кривой второго порядка к канони-

ческому виду ¡4x2 + 8xy ¡ 6y2 + 8x + 3y + 4 = 0.

86.25. Уравнение 4x2 ¡ 3y2 + 5z2 = 7 описывает

1)

Гиперболический параболоид

2)

Двуполостный гиперболоид

3)

Эллиптический параболоид

4)

Эллипсоид

5)

Гиперболический цилиндр

6)

Однополостный гиперболоид

86.26. Уравнение 5x2 ¡ 4y2 = ¡8 описывает на плоскости

1)

Пару параллельных прямых

2) Параболу

3)

Точку

4) Пару пересекающихся прямых

5)

Эллипс

6) Гиперболу

ТР-12 "Аналитическая геометрия"

177

Вариант

2 - 87

87.1. Через точку M(3; 2; 0) провести прямые параллельно и перпендикулярно

данной прямой y = 2x + 3.

87.2. Вычислить тангенс угла между прямыми 6x + 3y ¡ 3 = 0 è y = ¡4x ¡ 3.

87.3. Вычислить расстояние от точки M(3; ¡2) до прямой ¡3(x ¡1) ¡2(y ¡2) = 0.

87.4. Привести к нормальному виду уравнение прямой

x

y

¡

= 1.

¡3

4

87.5. Найти координаты основания высоты BD треугольника ABC, уравнения

стороны BC, высоты BD, медианы AM, åñëè A(1; 2), B(23; ¡4), C(13; 20).

87.6. Провести плоскость через точку M(¡1; ¡3; ¡2) параллельно плоскости

2x ¡ 5y + 5z + 7 = 0.

87.7. Провести плоскость через точку M(0; ¡2; ¡2) перпендикулярно прямой

6x + 2y

2z + 1 = 0

½ ¡x ¡ 3z¡

= 0

x ¡ 1

y ¡ 4

z ¡ 2

87.8. Найти координаты точки пересечения прямой

=

=

кости 5x ¡ 3y + 2z ¡ 33 = 0.

1

0

2

è ïëîñ-

87.9. Найти расстояние от точки M(3; 2; 2) до плоскости ¡x + 2y ¡ 2z + 4 = 0.

87.10.

Найти косинус угла между прямыми

x + 4

=

y ¡ 1

=

z ¡ 4

x

=

2 ,

è

¡4

y ¡ 1

=

z

¡1

¡2

¡2

4

.

x + 5

y ¡ 1

z ¡ 1

87.11.

Найти синус угла между прямой

=

=

и плоскостью

¡2x ¡ 6y ¡ 3z ¡ 3 = 0.

9

6

2

87.12. Провести плоскость через три данные точки A(¡3; ¡2; 2), B(¡4; ¡1; 3),

C(¡1; 2; 2).

¡ ¡

87.13.

Провести плоскость через прямую ½ ¡2x + y ¡ 2z ¡ 2

= 0 и точку

2x ¡ 3y ¡ 3z + 4 = 0

M( 4;

1; 4).

87.14. Провести плоскость через параллельные прямые

x ¡ 4

=

y ¡ 2

=

z ¡ 1

x ¡ 7

=

y ¡ 2

=

z + 2

¡11

¡3

5

è

¡11

¡3

5 .

87.15. Найти расстояние от точки M(0; 1; ¡4) до прямой

½ ¡2x + 4y + 3z ¡ 3 =

0

5x + 2y + 3z + 2 =

0

1)

87.16.

Выполнить следующие действия:

провести плоскость через первую прямую параллельно второй прямой;

2)

найти расстояние между скрещивающимися прямыми;

3)

провести общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым.

x ¡ 4

=

y + 2

=

z ¡ 4

x + 3

=

y ¡ 3

=

z + 4

¡2

0

2 è ¡4

4

4 .

87.22.

Построить кривую, заданную параметрически

½ y

=

5 sin2 4t ¡ 4

x

=

2 cos 4t + 4

1)

Параболический цилиндр

2)

Эллиптический параболоид

3)

Гиперболический параболоид

4)

Однополостный гиперболоид

5)

Эллипсоид

6) Двуполостный гиперболоид

87.26. Уравнение 8x2 = 7y2 описывает на плоскости

1)

Пару параллельных прямых

2) Гиперболу

3)

Параболу

4) Точку

5)

Пару пересекающихся прямых

6) Эллипс

ТР-12 "Аналитическая геометрия"

179

x ¡ 2

=

y + 2

=

z ¡ 3

2

1

3 .

x ¡ 3

y + 3

z ¡ 4

88.8. Найти координаты точки пересечения прямой

=

=

¡1

кости

5x + 4y ¡ 3z + 12 = 0

.

1

0 è ïëîñ-

88.11.

Найти синус угла между прямой

x ¡ 1

=

y + 2

=

z + 3

3

¡2x ¡ 6y ¡ 3z ¡ 6 = 0.

6

2 и плоскостью

88.12. Провести плоскость через три данные точки A(3; 0; 1), B(¡1; ¡3; ¡4), C(¡4; ¡3; 1).

88.13.

Провести плоскость через прямую

x + 3

=

y ¡ 3

=

z ¡ 2

M(6; 4;

¡

3).

3

и точку

¡3

¡3

88.14. Провести плоскость через параллельные прямые

x ¡ 1

=

y + 2

=

z + 1

è

x + 2

=

y ¡ 3

=

z ¡ 3

12

¡4

0

12

¡4

0 .

88.15. Найти расстояние от точки M(5;

3;

3) до прямой

x + 1

=

y ¡ 5

=

z ¡ 5

3

4 .

¡

¡

3

1)

88.16.

Выполнить следующие действия:

¡

¡

провести плоскость через первую прямую параллельно второй прямой;

2)

найти расстояние между скрещивающимися прямыми;

3)

провести общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым.

x + 3

=

y ¡ 2

=

z + 1

x ¡ 2

=

y ¡ 4

=

z + 3

¡3

0

¡2 è 4

¡4

¡2 .

88.22.

Построить кривую, заданную параметрически

½ y

=

4 ¡ 4 sin 3t

x

=

5 cos2 3t + 4

88.24. Определить тип и привести уравнение кривой второго порядка к канони-

ческому виду ¡6x2 ¡ 4xy + 2y2

¡ 5x ¡ 5y + 9 = 0.

88.25. Уравнение 6x2 ¡ 3y2 ¡ 9z2 = 7 описывает

1)

Двуполостный гиперболоид

2) Гиперболический параболоид

3)

Эллиптический цилиндр

4) Однополостный гиперболоид

5)

Конус

6) Эллиптический параболоид

88.26. Уравнение 9x2 + 4y28 описывает на плоскости

1)

Параболу

2)

Гиперболу

3)

Эллипс

4)

Пару пересекающихся прямых

5)

Точку

6)

Пару параллельных прямых