Типовой расчет №2

ТР-12 "Аналитическая геометрия"

241

119.4. Привести к нормальному виду уравнение прямой

x

y

+

= 1.

8

6

119.5. Найти координаты основания высоты BD треугольника ABC, уравнения

стороны BC, высоты BD, медианы AM, åñëè A(¡2; 3), B(7; ¡4), C(7; 9).

119.6. Провести плоскость через точку M(3; 1; ¡2) параллельно плоскости

10x + 8y ¡ 6z ¡ 9 = 0.

½

119.7. Провести плоскость через точку M(¡1; ¡1; 2) перпендикулярно прямой

6x + 3y + 2z + 4 = 0

0x ¡ 3y + 3z ¡ 3 = 0

x + 3

y + 1

z ¡ 1

119.8. Найти координаты точки пересечения прямой

=

=

¡3

¡2 è

плоскости

6x ¡ 2y ¡ 3z + 61 = 0

.

1

119.10. Найти косинус угла между плоскостями 9x + 6y ¡ 2z + 1

= 0 è 2(x ¡ 4) ¡

1(y ¡ 3) + 2(z ¡ 4) = 0.

119.11. Найти синус угла между прямой

x ¡ 1

=

y ¡ 1

=

z + 1

¡4

8

1

и плоскостью

4x ¡ 4y ¡ 2z ¡ 6 = 0

.

119.13.

Провести плоскость через прямую

x ¡ 3

=

y

=

z + 4

M(5;

¡

2; 2).

¡1

¡2

4 и точку

119.14.

Провести плоскость через параллельные прямые

x + 14

=

y + 3

=

z ¡ 2

2

x + 12

y + 2

z ¡ 2

2

1

è

=

=

2

2

1 .

119.15. Найти расстояние от точки M(

¡

1; 1;

3) до прямой

6x ¡ 2y + 3z + 4

= 0

119.16.

¡

½

3x ¡ 3y + 3z ¡ 1

= 0

1)

Выполнить следующие действия:

провести плоскость через первую прямую параллельно второй прямой;

2)

найти расстояние между скрещивающимися прямыми;

3)

провести общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым.

x + 4

=

y ¡ 4

=

z ¡ 4

x ¡ 1

=

y + 3

=

z + 2

¡2

0

2 è ¡2

3

¡4 .

119.22.

Построить кривую, заданную параметрически

½ y

=

6 cos 2t ¡ 5

x

=

3 sin 2t ¡ 4

1)

Двуполостный гиперболоид

2)

Эллипсоид

3)

Однополостный гиперболоид

4)

Гиперболический цилиндр

5)

Гиперболический параболоид

6)

Эллиптический параболоид

119.26. Уравнение 7x2 = 5y2 описывает на плоскости

1)

Точку

2) Гиперболу

3)

Пару параллельных прямых

4) Пару пересекающихся прямых

5)

Эллипс

6) Параболу

ТР-12 "Аналитическая геометрия"

243

x + 2

=

y ¡ 1

=

z + 3

¡1

¡3

¡2 .

x + 2

y + 2

z ¡ 2

120.8. Найти координаты точки пересечения прямой

=

=

3

è

плоскости 3x ¡ 3y + 4z ¡ 33 = 0.

2

2

120.9. Найти расстояние от точки M(¡1; 2; 2) до плоскости 7(x + 1) ¡ 4(y ¡ 2) +

4(z + 1) = 0.

120.10.

Найти косинус угла между прямыми

x ¡ 3

=

y + 3

=

z ¡ 1

x + 2

=

¡2 , è

1

y + 1

=

z ¡ 4

¡1

2

¡2

x + 4

y + 3

z ¡ 1

2 .

120.11. Найти синус угла между прямой

=

=

¡1

и плоскостью

4x ¡ 2y ¡ 4z ¡ 4 = 0

.

8

4

120.12. Провести плоскость через три данные точки A(3; 2; 2), B(4; 2; 0), C(¡3; ¡4; 3).

120.13.

Провести плоскость через прямую ½

2x ¡ y + 4z ¡ 2

=

0 и точку

¡ ¡ ¡

3x ¡ 3y ¡ 2z ¡ 2 = 0

M( 4; 1; 4).

120.14.

Провести плоскость через параллельные прямые

x + 14

=

y + 3

=

z ¡ 1

è

x ¡ 8

=

y ¡ 3

=

z + 1

¡16

¡5

4

¡16

¡5

4 .

120.15. Найти расстояние от точки M(5; 3; 4) до прямой

x + 4

=

y + 4

=

z ¡ 4

0

¡

¡

4

3 .

1)

120.16. Выполнить следующие действия:

провести плоскость через первую прямую параллельно второй прямой;

2)

найти расстояние между скрещивающимися прямыми;

3)

провести общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым.

x + 2

=

y ¡ 3

=

z ¡ 2

x + 1

=

y ¡ 4

=

z + 4

2

¡1

¡3 è 0

2

2 .

120.22.

Построить кривую, заданную параметрически ½ y

=

4 sin2 2t ¡ 6

x

=

6 cos 2t + 3

120.23.

Определить тип и привести уравнение поверхности

второго порядка к

каноническому виду ¡4x2 + 7y2 + z2 ¡ 24x ¡ 42y ¡ 18z + 108 = 0.

120.24. Определить тип и привести уравнение кривой второго порядка к канони-

ческому виду ¡4x2 ¡ 8xy ¡ 4y2 + 2x + y + 2 = 0.

120.25. Уравнение 8x2 + 9y2 ¡ 3z2 = 2 описывает

1)

Эллиптический параболоид

2) Гиперболический параболоид

3)

Эллипсоид

4) Параболический цилиндр

5)

Двуполостный гиперболоид

6) Однополостный гиперболоид

120.26. Уравнение 3x2 + 6y28 описывает на плоскости

1)

Гиперболу

2) Параболу

3)

Пару параллельных прямых

4) Эллипс

5)

Пару пересекающихся прямых 6) Точку