Кратные интегралы

M = т g(x,y, z)ds.

(86)

l

полярных координатах уравнением r

=

3(1 + cos j

), 0 Ј

j Ј

p

.

2

Используем формулу (86):

p

2

M

=

т sin j dl = т sin j

r

2

+

ў

2

(r (j )) dj =

p

l

0

2

3т sin j (1 +

cosj )2 + (-

sin j

)2dj =

0

p

p

1

2

2

=

3

2т sin j

1 + cos j dj

= - 3

2т(1 + cos j )

d(1 + cosj ) =

2

0

0

3

p

3

2

=

- 3 2 Ч2 (1 + cos j )

=

- 2

2(1 -

2

) =

2(4 -

2).

2

2

3

0

3.

Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае

плоской

области:

M x =

тyg(x,y)ds, My

=

тx g(x,y, z)ds -

(87)

l

l

Оу;

I 0 = т(x 2 + y2 + z 2 )ds -

(88)

l

-

момент инерции пространственной

кривой относительно

I x = т(y2 + z 2 )ds, Iy =

т(x 2 + z 2 )ds, I z =

т(x 2 + y2 )ds

(89)

l

l

l

тx g(x,y, z)ds

тyg(x,y, z)ds

тz g(x,y, z)ds

xc =

l

,yc =

l

, zc =

l

. (90)

M

M

M

представлена как

т Pdx + Qdy + R dz = т

r

(91)

F Чdr ,

(A B )

(A B )

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

Пример 24.

Вычислить работу силы

F = {4x 2y;x 2

+ z 2;x + yz},

действующей

Параметрические

уравнения

прямой

АВ

имеют

вид:

м

=

2 - 5t

пx

п

п

п

=

1 + t , 0 Ј t Ј 1. При этом dx = -5dt, dy = dt, dz = dt.

н y

п

п

п

=

0 + t

п z

о

Работа

A =

т Pdx + Qdy + Rdz = т 4x 2ydx + (x 2 + z 2 )dy + (x + yz)dz =

(A B )

(A B )

1

=

т((- 5) Ч4(2 -

5t )2(1 + t ) + (2 -

5t)2

+ t 2 + 2 -

5t + t(1 + t))dt =

0

1

)

(

3

)

1

=

т(

=

- 500t 3 - 73t 2

+ 296t - 74 dt =

- 125t 4 -

73 t 3 + 148t 2 - 74t

0

0

=

-

226 .

3

1) Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой

z = f(x, y), можно найти в виде:

S = ттdS =

тт 1 + fxў2 + fyў2dxdy

(92)

S

W

2) Масса поверхности

M = тт g(x,y, z)dS .

(93)

S

сферы и плоскости z =

3 является окружность x 2

+ y2 + (

3)2 = 4 , то

есть х2 + у2 = 1. Следовательно, проекцией S на плоскость Оху является

круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Вычислим массу поверхности в полярных координатах:

dxdy

2p

1

rdr

M = 2 2тт

= 2 2

тdj т

=

4 - x

2

- y

2

4 -

r

2

W

0

0

1

1

= - 2 Ч2p т(4 - r 2 )-

d(4 - r 2 ) =

2

0

1

= - 2 2p Ч2 4 - r 2

= - 4 2p( 3 - 2) = 4 2p(2 -

3).

0

M xy

= ттz g(x,y, z)dS, M xz =

ттygdS, Myz = ттx gdS -

(94)

S

S

S

-

статические

моменты

поверхности

относительно

координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

I x = тт(y2

+ z 2 )g(x,y, z)dS ,

S

Iy = тт(x 2

+ z 2 )g(x,y, z)dS,

(95)

S

I xy = ттz 2g(x,y, z)dS, I xz =

ттy2gdS , Iyz =

ттx 2gdS - (96)

S

S

S

-

моменты

инерции

поверхности относительно

координатных

плоскостей;

I 0

= тт(x 2

+ y2 + z 2 )g(x,y, z)dS -

(97)

S

xc =

Myz

,yc =

M xz

, zc =

M xy

.

(98)

M

M

M

Вычислить:

1)

ттx ln ydxdy , если область D – прямоугольник 0 Ј x Ј 4, 1 Ј y Ј e .

D

2)

тт(cos2 x +

sin2 y)dxdy , если область D – квадрат

D

0 Ј x Ј

p

, 0

Ј y Ј p .

4

4

3)

тт(x - y)dxdy , если область D ограничена линиями

D

y = 2 - x 2, y = 2x - 1.

4)

тт(x + 2y)dxdy , если область D ограничена прямыми

D

y = x, y = 2x, x = 2, x = 3 .

5)

ттex + sin y cos ydxdy , если область D – прямоугольник

D

p

0 Ј x Ј p, 0 Ј y Ј

.

2

6)

тт(x 2 + y2 )dxdy , если область D ограничена линиями

D

y = x, x = 0, y = 1, y = 2 .

7)

тт(3x 2 - 2xy + y)dxdy , если область D ограничена линиями

D

x = 0, x = y2, y = 2 .

Домашнее задание.

Вычислить:

1)

ттy ln xdxdy , если область D ограничена линиями

D

xy = 1, y =

x, x = 2 .

2)

тт(cos 2x + sin y)dxdy , если область D ограничена линиями

D

x = 0, y = 0, 4x + 4y - p = 0 .

3)

тт(3x + y)dxdy , если область D определяется неравенствами

D

2 x + 3 .

x 2 + y2 Ј 9, y і

тт sin(x +

3

4)

y)dxdy , если область D ограничена линиями

D

p

x = 0, y =

, y = x .

2

5)

ттxdxdy , если область D – треугольник с вершинами А(2:3), B (7:2),

D

C(4;5).

1)

тт

x 2

+ y2dxdy , если D – 1 четверть круга x 2 + y2 Ј a2 .

D

2)

тт ln(x 2 +

y2 )dxdy , если D – кольцо между окружностями

D

x 2 + y2 = e2 и x 2 + y2 = e4 .

3)

тт

1

dxdy , если область D ограничена полуокружностью

x 2 +

y2

+ 1

D

x 2

+ y2

= 2ax .

4)

тт sin

2x 2

+

2y2

dxdy , если область D ограничена линиями

D

x

+ y

x 2 + y2

=

p2

9

, x 2 + y2 = p2 .

5)

тт

x 2

+ y2dxdy , если область D ограничена линиями

D

x 2 + y2 = a2, x 2 + y2 = 4a2 .

Вычислить:

1)

тт ln(x 2

+

y2 )dxdy , если D – кольцо между окружностями

D

x 2 + y2 = 4e2 и x 2 + y2 = 9e2 .

2)

тт(x 2 +

y2 )dxdy , если область D ограничена полуокружностью

D

x 2

+ y2

= 10x .

3)

тт(x 2 +

y2 )2dxdy , если область D ограничена полуокружностью

D

x 2

+ y2

=

8x .

4)

тт

4x 2

+

4y2dxdy , если D – 1 четверть круга x 2 + y2 Ј 16 .

D

2

5)

тт(1 - xy 2 )dxdy , если область D ограничена окружностью

D

x 2

+ y2

= 1.

Занятие 3. Приложения двойного интеграла.

Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:

1)

x = y2 - 2y, x + y = 0 .

2)

y2 = 4x - x 2, y2 = 2x (вне параболы).

3)

y2 + 2y - 3x + 1 = 0, 3x - 3y - 7 = 0.

Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:

4)

x 2 + y2 = 8, x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 4 .

5)

x = 2y2, x + 2y + z = 4, y = 0, z = 0 .

6)

x 2 + y2 + z = 1, z = 0 .

7)

Найти площадь части поверхности y = x 2 + z 2 , вырезанной

цилиндром

x 2 + z 2 = 1 и расположенной в 1 октанте.

Домашнее задание.

Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:

1)

y = 2 - x, y2 = 4x + 4 .

2)

x = 4 - y2, x + 2y - 4 = 0 .

Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:

3)

z = 4 - x 2, x = 0, y = 0, z = 0, 2x + y = 4 .

4)

z 2 = xy, x = 0, x = 1, y = 0, y = 4, z = 0 .

5)

Найти площадь части сферы x 2 + y2 + z 2 = 4 , вырезанной

цилиндром x 2 / 4 + y2 = 1.

1)

ттт(x 2 + y2 + z 2 )dxdydz , если область Т – прямоугольный

T

параллелепипед, определенный неравенствами

0 Ј x Ј a, 0 Ј y Ј b, 0 Ј z Ј c .

2)

тттxyzdxdydz , если область Т ограничена сферой x 2 + y2 + z 2 = 1

z = xy, y = x, x = 1, z = 0 .

4)

тттzdxdydz , если область Т ограничена конической поверхностью

T

z 2 = x 2

+ y2

и плоскостью z=2.

5)

ттт(x 2

+ y +

z 2 )3dxdydz , если область Т ограничена цилиндром

T

x 2 + z 2

= 1 и плоскостями y=0, y=1.

6)

тттdxdydz , где область Т – шар x 2 + y2 + z 2 Ј r 2 .

T

ттт 1 + (x 2

3

7)

+ y2 + z 2 )

dxdydz , где область Т – шар

2

Вычислить:

1)

тттzdxdydz , если область Т определяется неравенствами

T

1, x Ј y Ј 2x, 0 Ј z Ј 1 - x 2 - y2 .

0 Ј x Ј

2

2)

тттx 2yzdxdydz , если область Т ограничена плоскостями x=0, y=0,

T

z=0, x+y+z-2=0.

3)

тттx 2dxdydz , где область Т – шар x 2 + y2 + z 2 Ј R 2 .

T

4)

тттz x 2 + y2dxdydz , если область Т ограничена цилиндром

T

x 2 + y2

= 2x и плоскостями y=0, z=0, z=a.

5)

ттт(x 2

+ y2 )dxdydz , где область Т – верхняя половина шара

T