Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Кратные интегралы

.pdf
Скачиваний:
64
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
888.19 Кб
Скачать

 

1

ж 2

 

4

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

x

6

ц

1

 

1

 

=

зx

-

x

3

+

x

4

-

x

5

+

 

ч

 

=

.

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

ч

 

 

 

24

з

 

3

 

 

 

2

 

 

 

5

 

 

 

6

ч

 

 

720

 

 

и 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш0

 

 

5. Криволинейные системы координатв трехмерном пространстве

1.Цилиндрическая система координат

Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и апликата данной точки z (рис.10).

Рис.10

Рис.11

Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым

можно задать следующим образом:

 

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z.

(24)

2.Сферическая система координат

В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой ρ – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки

21

на плоскость Оху, и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.11). При этом

r і 0, 0 Ј j < 2p, 0 Ј q Ј p.

Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ.

(25)

6. Якобиан и его геометрический смысл

Рассмотрим общий случай замены переменных в двойном интеграле. Пусть в плоскости Оху дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что х и у являются однозначными и непрерывно

дифференцируемыми функциями новых переменных u и v:

 

x = φ(u, v), y = ψ(u, v).

(26)

Рассмотрим прямоугольную систему координат Оuv, точка Р΄(u, v) которой соответствует точке Р(х, у) из области D. Все такие точки образуют в плоскости Оuv область D΄, ограниченную линией L΄. Можно сказать, что формулы (26) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D΄. При этом линиям u = const и v = const в плоскости Оuv будут соответствовать некоторые линии в плоскости Оху.

Рис. 12 .

22

Рассмотрим в плоскости Оuv прямоугольную площадку ,

ограниченную прямыми u = const, u+ u = const, v = const и v+ v = const.

Ей будет соответствовать криволинейная площадка

S в плоскости Оху

(рис.12). Площади рассматриваемых площадок тоже будем обозначать

и S. При этом

=

u

v. Найдем площадь

S. Обозначим вершины

этого криволинейного четырехугольника Р1, Р2, Р3, Р4, где

 

 

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

 

 

 

 

 

 

P2(x2, y2), x2 = φ(u+

u, v), y2 = ψ(u+

u, v);

 

 

 

 

P3(x3, y3), x3 = φ(u+

u, v+

 

v), y3 = ψ(u+

u, v+

v);

 

 

 

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+

v), y4 = ψ(u, v+ v).

 

 

 

 

Заменим

малые

приращения

u

и

v

соответствующими

дифференциалами. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 = j (u,v), y1 = y (u,v),

 

 

 

x2 = j (u,v ) +

j

 

 

D u, y2

= y (u,v ) +

y

Du,

 

u

 

 

u

 

x3 = j (u,v ) +

j

 

 

 

j

 

 

 

= y (u,v ) +

y

 

y

 

 

Du +

 

 

 

 

Dv, y3

u

Du +

v Dv,

u

v

 

x4 = j (u,v ) +

 

j

 

 

Dv, y4 = y (u,v ) +

y

D v.

 

 

v

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом

четырехугольник Р1

Р2

Р3

Р4

 

можно

считать

параллелограммом и определить его площадь по формуле из аналитической геометрии:

D S »

 

(x3 - x1)(y3 - y2 ) - (x3 - x2 )(y3 - y1)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

j

y

 

j

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

D u +

 

Dv )v

Dv -

 

Dv (u

Du +

 

v

Dv )

=

u

v

v

=

 

j y

-

j y

 

DuDv =

 

 

 

 

u v

 

v u

 

 

j

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

v

 

 

DuDv =

 

I

 

DS ў.

(27)

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

u

v

 

 

 

 

 

 

 

 

23

j

Определение 6. Определитель I = ¶ u

y u

функциональным определителем или якобианом

ψ(х,у).

j

 

 

 

 

v

 

называется

y

 

 

v

 

 

 

 

функций φ(х, у) и

Другая форма записи якобиана:

D(x,y)

=

I .

D(u,v)

 

 

 

 

 

Переходя к пределу при

max D S ў®

0

в равенстве (27), получим

геометрический смысл якобиана:

 

 

 

| I |= lim

DS

,

 

 

(28)

 

 

 

DS ® 0 DS ў

 

 

 

ў

 

 

 

 

 

то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок S и S΄.

Замечание. Аналогичным образом можно определить понятие якобиана и его геометрический смысл для п-мерного пространства: если x1= φ1(u1, u2,…,un), x2= φ2(u1, u2,…,un),…, xn= φ(u1, u2,…, un), то

 

j 1

j 1

...

j

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1

u2

un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 2

j 2

...

j

2

 

 

D(x1, x2

,..., xn )

 

I =

u1

u2

un

=

 

(29)

 

D(u1,u2

,...,un )

 

...

...

... ...

 

 

 

j n

j n

...

j

n

 

 

 

 

 

 

u1

u2

un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом модуль якобиана дает предел отношения «объемов» малых

областей пространств х1, х2,…, хп

и u1, u2,…, un .

 

 

7. Замена переменных в кратных интегралах

Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного интеграла.

24

Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y), каждому значению которой соответствует то же самое значение функции z = F(u, v) в области D΄, где

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)).

 

(30)

Рассмотрим интегральную сумму

 

 

е f (x,y)DS = е F(u, v)D S » е F(u, v) | I | DS ў,

 

где интегральная

сумма справа берется по

области

(здесь

D S = DxDy, DS ў= DuDv ). Переходя к пределу

при max D S ў® 0 ,

получим формулу преобразования координат в двойном интеграле:

тт f (x, y)dxdy = ттF(u, v) | I | dudv.

(31)

D

Dў

 

 

Аналогичным образом можно вывести подобную формулу для тройного интеграла:

ттт f (x,y, z)dxdydz =

V

 

 

 

 

 

 

 

(32)

= ттт f (j (u,v,w), y (u,v,w), c (u, v, w)) | I | dudvdw,

 

V ў

 

 

 

 

 

 

 

 

где x = φ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w),

 

 

 

j

 

j

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

v

 

w

 

 

 

I =

 

y

 

y

 

y

 

,

(33)

 

 

u

 

v

 

w

 

 

 

 

 

c

 

c

 

c

 

 

 

 

 

u

 

v

 

w

 

 

 

а область V пространства Оxyz отображается в область пространства

Ouvw.

25

Переход к цилиндрическим и сферическим координатами в тройном интеграле

Найдем, используя формулы (25), (26) и (33), якобианы перехода от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим:

1)для цилиндрических координат

 

cosj

- r sin j

0

 

 

I =

sin j

r cos j

0

= r,

(34)

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2)для сферических координат

 

sin q cosj

- r sin q sin j

r cos q cosj

 

 

I =

sin q sin j

r sin q cosj

r cos q sin j

= r 2 sin q.

(35)

 

cos q

0

- r sin q

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:

ттт f (x,y, z)dxdydz =

j 2

r2(j )

z2(r ,j )

 

 

тdj

т rdr

т F1(r,j , z)dz =

 

 

V

 

 

j 1

r1(j )

z1(r ,j )

,

(36)

q2

j 2(q)

r2(j ,q)

 

 

 

 

 

 

 

 

= т sin qdq т dj

т

F2(r,j , q)r 2dr

 

 

q1

j 1(q)

r1(j ,q)

 

 

 

 

 

где смысл обозначений понятен из предыдущего текста.

Пример 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим интеграл от функции u = z

x 2 + y2

по области,

 

 

 

 

ограниченной поверхностями x² + y² = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

1

 

1

 

 

ж

 

p ц

 

 

 

 

1

цж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

ж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ч

r

 

 

 

 

ч

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

з

 

 

ттт

z

x

+

y dxdydz =

т

dj

т

r Чrdr

т

zdz

=

зj

 

ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чз

3

 

 

0

чз

2

 

 

 

 

 

 

 

4 чз

 

 

 

 

 

чз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

0 чи

 

 

 

 

 

ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

ши

 

V

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

0

 

 

и

 

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= p

Ч1

Ч1

=

 

p

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ч

ч=

ч

ш

26

Пример 6.

Пусть подынтегральная функция u = 1, а область интегрирования – шар радиуса R с центром в начале координат. Тогда

 

 

 

 

 

 

p

 

2p

 

R

 

ж

 

p

ж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

ц

ттт

 

 

 

т

 

т

 

т

з

 

0

чз

dxdydz =

sin qdq

dj

r dr =

з

cos q

чз

 

 

 

 

 

 

з-

 

чзj

 

V

 

R 3

 

0

 

0

 

0

 

и

 

 

ши

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

 

=

4

pR 3

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч2p Ч

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p цжчзr 3 чз чз

0 ч 3

ши

R ц

ч

чч= 0 ч

ш .

27

II. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и вычисление

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части si длиной si и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим

n

интегральную сумму е f (Mi )Dsi . Назовем d длину наибольшего отрезка

i = 1

кривой: d = max Dsi .

i Ј n

Определение 7. Если существует конечный предел интегральной

n

суммы е f (M i )D si , не зависящий ни от способа разбиения кривой на

i = 1

отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается

 

 

 

n

 

т f (M )ds =

т f (x, y, z)ds =

dlim® 0

е f (Mi )Dsi .

(37)

L

L

 

i = 1

 

Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то интеграл (36) равен массе рассматриваемой кривой.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода

1.Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл т f (M )ds

L

существует.

2. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих

28

кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то

 

т f (M )ds =

т f (M )ds.

 

(38)

 

(A B )

(BA )

 

 

Справедливость

этих

свойств

следует

из

определения

криволинейного интеграла 1-го рода.

Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где 0 Ј s Ј S . Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма

n n

е f (Mi )Dsi = е f (x(si ),y(si ), z(si ))Dsi ,

i = 1 i = 1

где si - координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для

S

определенного интеграла т f (x(s),y(s), z(s))ds. Следовательно,

 

0

 

 

 

S

 

 

т f (M )ds = т f (x(s),y(s), z(s))ds.

(39)

L

0

 

 

Если же кривая L задана в параметрической форме:

 

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),

t0 ≤ t ≤ T,

 

то, применяя в интеграле (39) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

ds = (j ў(t ))2 + (y ў(t ))2 + (c ў(t ))2dt,

получим:

29

T

т f (M )ds = т f (j (t ), y (t), c (t)) (j ў(t))2 + (y ў(t ))2 + (c ў(t))2dt. (40)

L

t0

В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом: у=φ(х), где х1 х х2, формула (40) преобразуется к виду:

т f (M )ds =

x2

 

т f (x,j (x)) 1 + (j ў(x))2dx .

(41)

L

x1

 

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

Пример 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

пx

 

 

 

 

п

 

 

 

 

п

Вычислить

т

xyzds,

где L:

п

п

 

нy

 

L

 

 

п

 

 

 

 

п

 

 

 

 

оп

= 2 cost,

= 2 sin t, 0 Ј t Ј 2p. Применяя z = t,

формулу (40), получим:

 

2p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p

 

 

 

т xyzds =

т2 cost Ч2 sin t Чt Ч 4 sin2 t + 4 cos2 t + 1dt

= -

5тtd(cos 2t ) =

L

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

ж

 

2p

 

2p

ц

 

 

 

1

 

2p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ч

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

т

ч

 

5 Ч2p +

 

 

 

 

 

2 5p.

= -

5 зt cos 2t

 

 

-

ч

= -

5

Ч

sin 2t

 

= -

 

0

 

cos 2tdt ч

0

 

з

 

 

 

ч

 

 

 

2

 

 

 

 

и

 

 

 

0

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если кривая задана на плоскости в полярных координатах:

r = r(j ), j 1 Ј j

Ј j 2 , то элемент длины дуги ds = r

2

2

 

+ r&dj , и

 

j 2

 

 

 

 

т f (x,y)ds = т f (j , r(j )) r

2

2

 

(42)

 

+ r&dj .

 

L

j 1

 

 

 

 

30