
Кратные интегралы
.pdf
|
1 |
ж 2 |
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
x |
6 |
ц |
1 |
|
1 |
|
|
= |
зx |
- |
x |
3 |
+ |
x |
4 |
- |
x |
5 |
+ |
|
ч |
|
= |
. |
|||||||
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
||||||||||
|
24 |
з |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
ч |
|
|
720 |
|
||
|
и 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш0 |
|
|
5. Криволинейные системы координатв трехмерном пространстве
1.Цилиндрическая система координат
Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и апликата данной точки z (рис.10).
Рис.10 |
Рис.11 |
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым |
|
можно задать следующим образом: |
|
x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. |
(24) |
2.Сферическая система координат
В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой ρ – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки
21

на плоскость Оху, и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.11). При этом
r і 0, 0 Ј j < 2p, 0 Ј q Ј p.
Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:
x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. |
(25) |
6. Якобиан и его геометрический смысл
Рассмотрим общий случай замены переменных в двойном интеграле. Пусть в плоскости Оху дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что х и у являются однозначными и непрерывно
дифференцируемыми функциями новых переменных u и v: |
|
x = φ(u, v), y = ψ(u, v). |
(26) |
Рассмотрим прямоугольную систему координат Оuv, точка Р΄(u, v) которой соответствует точке Р(х, у) из области D. Все такие точки образуют в плоскости Оuv область D΄, ограниченную линией L΄. Можно сказать, что формулы (26) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D΄. При этом линиям u = const и v = const в плоскости Оuv будут соответствовать некоторые линии в плоскости Оху.
Рис. 12 .
22

Рассмотрим в плоскости Оuv прямоугольную площадку S΄,
ограниченную прямыми u = const, u+ u = const, v = const и v+ v = const.
Ей будет соответствовать криволинейная площадка |
S в плоскости Оху |
|||||||||||||||
(рис.12). Площади рассматриваемых площадок тоже будем обозначать S΄ |
||||||||||||||||
и S. При этом |
S΄ = |
u |
v. Найдем площадь |
S. Обозначим вершины |
||||||||||||
этого криволинейного четырехугольника Р1, Р2, Р3, Р4, где |
|
|
||||||||||||||
P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v); |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
P2(x2, y2), x2 = φ(u+ |
u, v), y2 = ψ(u+ |
u, v); |
|
|
|
|
||||||||||
P3(x3, y3), x3 = φ(u+ |
u, v+ |
|
v), y3 = ψ(u+ |
u, v+ |
v); |
|
|
|
||||||||
P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+ |
v), y4 = ψ(u, v+ v). |
|
|
|
|
|||||||||||
Заменим |
малые |
приращения |
u |
и |
v |
соответствующими |
||||||||||
дифференциалами. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x1 = j (u,v), y1 = y (u,v), |
|
|
|
|||||||||
x2 = j (u,v ) + |
¶ j |
|
|
D u, y2 |
= y (u,v ) + |
¶ y |
Du, |
|
||||||||
¶ u |
|
|
¶ u |
|
||||||||||||
x3 = j (u,v ) + |
¶ j |
|
|
|
¶ j |
|
|
|
= y (u,v ) + |
¶ y |
|
¶ y |
||||
|
|
Du + |
|
|
|
|
Dv, y3 |
¶ u |
Du + |
¶ v Dv, |
||||||
¶ u |
¶ v |
|
||||||||||||||
x4 = j (u,v ) + |
|
¶ j |
|
|
Dv, y4 = y (u,v ) + |
¶ y |
D v. |
|
||||||||
|
¶ v |
|
|
¶ v |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При этом |
четырехугольник Р1 |
Р2 |
Р3 |
Р4 |
|
можно |
считать |
параллелограммом и определить его площадь по формуле из аналитической геометрии:
D S » |
|
(x3 - x1)(y3 - y2 ) - (x3 - x2 )(y3 - y1) |
|
= |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
¶ j |
|
|
|
¶ j |
¶ y |
|
¶ j |
¶ y |
|
|
¶ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( |
|
D u + |
|
Dv )¶ v |
Dv - |
|
Dv (¶ u |
Du + |
|
¶ v |
Dv ) |
= |
||
¶ u |
¶ v |
¶ v |
= |
|
¶ j ¶ y |
- |
¶ j ¶ y |
|
DuDv = |
|
|
|||||
|
|
¶ u ¶ v |
|
¶ v ¶ u |
|
|
¶ j |
¶ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
¶ u |
¶ v |
|
|
DuDv = |
|
I |
|
DS ў. |
(27) |
|
|
|
|
||||||
¶ y |
¶ y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
¶ u |
¶ v |
|
|
|
|
|
|
|
|
23

¶ j
Определение 6. Определитель I = ¶ u
¶ y ¶ u
функциональным определителем или якобианом
ψ(х,у).
¶ j |
|
|
|
|
|
¶ v |
|
называется |
¶ y |
|
|
¶ v |
|
|
|
|
функций φ(х, у) и
Другая форма записи якобиана: |
D(x,y) |
= |
I . |
|||
D(u,v) |
||||||
|
|
|
|
|
||
Переходя к пределу при |
max D S ў® |
0 |
в равенстве (27), получим |
|||
геометрический смысл якобиана: |
|
|
|
|||
| I |= lim |
DS |
, |
|
|
(28) |
|
|
|
|
||||
DS ® 0 DS ў |
|
|
|
|||
ў |
|
|
|
|
|
то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок S и S΄.
Замечание. Аналогичным образом можно определить понятие якобиана и его геометрический смысл для п-мерного пространства: если x1= φ1(u1, u2,…,un), x2= φ2(u1, u2,…,un),…, xn= φ(u1, u2,…, un), то
|
¶ j 1 |
¶ j 1 |
... |
¶ j |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
¶ u1 |
¶ u2 |
¶ un |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
¶ j 2 |
¶ j 2 |
... |
¶ j |
2 |
|
|
D(x1, x2 |
,..., xn ) |
|
I = |
¶ u1 |
¶ u2 |
¶ un |
= |
|
(29) |
||||
|
D(u1,u2 |
,...,un ) |
||||||||
|
... |
... |
... ... |
|
|
|||||
|
¶ j n |
¶ j n |
... |
¶ j |
n |
|
|
|
|
|
|
¶ u1 |
¶ u2 |
¶ un |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
При этом модуль якобиана дает предел отношения «объемов» малых |
||||||||||
областей пространств х1, х2,…, хп |
и u1, u2,…, un . |
|
|
7. Замена переменных в кратных интегралах
Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного интеграла.
24
Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y), каждому значению которой соответствует то же самое значение функции z = F(u, v) в области D΄, где
F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). |
|
(30) |
|
Рассмотрим интегральную сумму |
|
|
|
е f (x,y)DS = е F(u, v)D S » е F(u, v) | I | DS ў, |
|
||
где интегральная |
сумма справа берется по |
области |
D΄ (здесь |
D S = DxDy, DS ў= DuDv ). Переходя к пределу |
при max D S ў® 0 , |
||
получим формулу преобразования координат в двойном интеграле: |
|||
тт f (x, y)dxdy = ттF(u, v) | I | dudv. |
(31) |
||
D |
Dў |
|
|
Аналогичным образом можно вывести подобную формулу для тройного интеграла:
ттт f (x,y, z)dxdydz =
V |
|
|
|
|
|
|
|
(32) |
||
= ттт f (j (u,v,w), y (u,v,w), c (u, v, w)) | I | dudvdw, |
||||||||||
|
||||||||||
V ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где x = φ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w), |
|
|||||||||
|
|
¶ j |
|
¶ j |
|
¶ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
¶ u |
|
¶ v |
|
¶ w |
|
|
|
|
I = |
|
¶ y |
|
¶ y |
|
¶ y |
|
, |
(33) |
|
|
|
¶ u |
|
¶ v |
|
¶ w |
|
|
|
|
|
|
¶ c |
|
¶ c |
|
¶ c |
|
|
|
|
|
|
¶ u |
|
¶ v |
|
¶ w |
|
|
|
а область V пространства Оxyz отображается в область V΄ пространства
Ouvw.
25

Переход к цилиндрическим и сферическим координатами в тройном интеграле
Найдем, используя формулы (25), (26) и (33), якобианы перехода от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим:
1)для цилиндрических координат
|
cosj |
- r sin j |
0 |
|
|
I = |
sin j |
r cos j |
0 |
= r, |
(34) |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2)для сферических координат
|
sin q cosj |
- r sin q sin j |
r cos q cosj |
|
|
I = |
sin q sin j |
r sin q cosj |
r cos q sin j |
= r 2 sin q. |
(35) |
|
cos q |
0 |
- r sin q |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:
ттт f (x,y, z)dxdydz = |
j 2 |
r2(j ) |
z2(r ,j ) |
|
|
||
тdj |
т rdr |
т F1(r,j , z)dz = |
|
|
|||
V |
|
|
j 1 |
r1(j ) |
z1(r ,j ) |
, |
(36) |
q2 |
j 2(q) |
r2(j ,q) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
= т sin qdq т dj |
т |
F2(r,j , q)r 2dr |
|
|
|||
q1 |
j 1(q) |
r1(j ,q) |
|
|
|
|
|
где смысл обозначений понятен из предыдущего текста.
Пример 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислим интеграл от функции u = z |
x 2 + y2 |
по области, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ограниченной поверхностями x² + y² = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
1 |
|
1 |
|
|
ж |
|
p ц |
|
|
|
|
1 |
цж |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
ж |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
r |
|
|
|
|
ч |
z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
з |
|
|
ттт |
z |
x |
+ |
y dxdydz = |
т |
dj |
т |
r Чrdr |
т |
zdz |
= |
зj |
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
чз |
3 |
|
|
0 |
чз |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 чз |
|
|
|
|
|
чз |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
0 чи |
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
ши |
|
||
V |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
и |
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= p |
Ч1 |
Ч1 |
= |
|
p |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1ц
ч
ч=
ч
0ч
ш
26

Пример 6.
Пусть подынтегральная функция u = 1, а область интегрирования – шар радиуса R с центром в начале координат. Тогда
|
|
|
|
|
|
p |
|
2p |
|
R |
|
ж |
|
p |
ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ц |
|
ттт |
|
|
|
т |
|
т |
|
т |
з |
|
0 |
чз |
|||
dxdydz = |
sin qdq |
dj |
r dr = |
з |
cos q |
чз |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
з- |
|
чзj |
|||||||
|
V |
|
R 3 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
и |
|
|
ши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
2 |
|
= |
4 |
pR 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ч2p Ч |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p цжчзr 3 чз чз
0 ч 3
ши
R ц
ч
чч= 0 ч
ш .
27
II. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и вычисление
Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части si длиной si и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим
n
интегральную сумму е f (Mi )Dsi . Назовем d длину наибольшего отрезка
i = 1
кривой: d = max Dsi .
1Ј i Ј n
Определение 7. Если существует конечный предел интегральной
n
суммы е f (M i )D si , не зависящий ни от способа разбиения кривой на
i = 1
отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается
|
|
|
n |
|
т f (M )ds = |
т f (x, y, z)ds = |
dlim® 0 |
е f (Mi )Dsi . |
(37) |
L |
L |
|
i = 1 |
|
Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то интеграл (36) равен массе рассматриваемой кривой.
Свойства криволинейного интеграла 1-го рода
1.Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл т f (M )ds
L
существует.
2. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих
28

кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то
|
т f (M )ds = |
т f (M )ds. |
|
(38) |
|
|
(A B ) |
(BA ) |
|
|
|
Справедливость |
этих |
свойств |
следует |
из |
определения |
криволинейного интеграла 1-го рода.
Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода
Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где 0 Ј s Ј S . Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма
n n
е f (Mi )Dsi = е f (x(si ),y(si ), z(si ))Dsi ,
i = 1 i = 1
где si - координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для
S
определенного интеграла т f (x(s),y(s), z(s))ds. Следовательно,
|
0 |
|
|
|
S |
|
|
т f (M )ds = т f (x(s),y(s), z(s))ds. |
(39) |
||
L |
0 |
|
|
Если же кривая L задана в параметрической форме: |
|
||
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), |
t0 ≤ t ≤ T, |
|
то, применяя в интеграле (39) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги
ds = (j ў(t ))2 + (y ў(t ))2 + (c ў(t ))2dt,
получим:
29

T
т f (M )ds = т f (j (t ), y (t), c (t)) (j ў(t))2 + (y ў(t ))2 + (c ў(t))2dt. (40)
L |
t0 |
В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом: у=φ(х), где х1 ≤ х ≤ х2, формула (40) преобразуется к виду:
т f (M )ds = |
x2 |
|
т f (x,j (x)) 1 + (j ў(x))2dx . |
(41) |
|
L |
x1 |
|
Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.
Пример 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
пx |
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
п |
Вычислить |
т |
xyzds, |
где L: |
п |
п |
||||
|
нy |
|||
|
L |
|
|
п |
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
оп |
= 2 cost,
= 2 sin t, 0 Ј t Ј 2p. Применяя z = t,
формулу (40), получим:
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
т xyzds = |
т2 cost Ч2 sin t Чt Ч 4 sin2 t + 4 cos2 t + 1dt |
= - |
5тtd(cos 2t ) = |
|||||||||||
L |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
ж |
|
2p |
|
2p |
ц |
|
|
|
1 |
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
||||
|
з |
|
|
|
т |
ч |
|
5 Ч2p + |
|
|
|
|
|
2 5p. |
= - |
5 зt cos 2t |
|
|
- |
ч |
= - |
5 |
Ч |
sin 2t |
|
= - |
|||
|
0 |
|
cos 2tdt ч |
0 |
||||||||||
|
з |
|
|
|
ч |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
и |
|
|
|
0 |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если кривая задана на плоскости в полярных координатах:
r = r(j ), j 1 Ј j |
Ј j 2 , то элемент длины дуги ds = r |
2 |
2 |
||
|
+ r&dj , и |
||||
|
j 2 |
|
|
|
|
т f (x,y)ds = т f (j , r(j )) r |
2 |
2 |
|
(42) |
|
|
+ r&dj . |
|
|||
L |
j 1 |
|
|
|
|
30