Добавил:

Valeriya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Кратные интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

888.19 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

	z =	(		)	- 2,
14.15.	z =	26 x 2 + y	2		- 2,
14.15.	z =	- 52x - 2.
	z =	- 52x - 2.

				(		)		- 1,
14.17.	z = - 2 x 2 + y2							- 1,
14.17.	z = 4y - 1.
	z = 4y - 1.
	z =	30	(			)	+ 1,
14.19.	z =	30		x 2 + y2			+ 1,
14.19.	z =	60y + 1.
	z =	60y + 1.
				(				)
14.21.	z = 2 - 18 x 2 + y2 ,
14.21.	z =	2 -		36y.
	z =	2 -		36y.
	z = 22		(		)		+ 3,
14.23.	z = 22			x 2 + y2			+ 3,
14.23.	z =	3 -		44y.
	z =	3 -		44y.
				(				)
14.25.	z = 4 - 6 x 2 + y2 ,
14.25.	z = 12y + 4.
	z = 12y + 4.

	z	=	(	+ y2	)	+ 3,
14.27.			28 x 2
	z	=	56y +	3.

	z = 2 - 20	(	x 2	+ y2	)
14.29.					,
	z = 2 - 40y.

14.16.	z = - 2 й(x - 1)2 + y2 щ- 1,
	z =	л	5.		ы
		4x -
14.18.	z =	26 й(x	- 1)2 +		y 2 щ- 2,
	z =	л			ы
		50 - 52x.
14.20.	z = - 16 й(x + 1)2				+ y2 щ- 1,
	z =	л		33.	ы
		- 32x -
14.22.	z = 24 й(x + 1)2 + y2 щ+ 1,
		л			ы
	z = 48x + 49.
14.24.	z = 2 - 4		й(x - 1)2 + y2 щ,
	z =	8x -	л		ы
			6.
14.26.	z =	32 й(x	- 1)2 +		y2 щ+ 3,
	z =	л			ы
		67 - 64x.
14.28.	z = 4 - 14			й(x + 1)2 + y 2 щ,
	z =	- 28x -		л	ы
				24.
14.30.	z =	8 й(x + 1)2 +			y 2 щ+ 3,
		л			ы
	z = 16x + 19.

Задача 15. Найти объем тела, заданного неравенствами.

1 Ј	x 2 + y2	+ z2	Ј	49,					1 Ј	x 2 + y2		+ z2	Ј 64,
15.1. -	x 2 + y2	Ј z Ј			x 2 + y2		,	15.2.	x 2 + y		2	z Ј	x 2 + y2	,
15.1. -	35	Ј z Ј				3	,	15.2.		15	Ј	z Ј	3	,
	35					3				15			3
- x Ј y Ј 0.									-	3x Ј y Ј 0.
4 Ј	x 2 + y2	+ z2	Ј	64,
15.3.	x 2 + y2				x
z Ј	3	,	-			Ј y Ј		0.
z Ј		,	-	3		Ј y Ј		0.
				3

121

4 Ј	x 2	+ y2		+ z 2	Ј	36,
15.4.		x 2 + y2					x
z і	-		63	,	0	Ј y Ј -		.
z і	-			,	0	Ј y Ј -	3	.
							3
1 Ј	x 2	+ y2 + z 2			Ј	36,
15.5.	x 2		+ y	2	-	3x Ј y Ј		3x.
z і			99	,	-	3x Ј y Ј		3x.
			99
25 Ј	x 2		+ y2 + z 2 Ј			100,
15.6.		x 2 + y2				3x Ј y Ј -		3x.
z Ј -			99	,		3x Ј y Ј -		3x.
			99

1 Ј x 2 + y2 + z2 Ј

15.7. 0 Ј	z	Ј			x 2	+ y2
						24	,
			x
y Ј	-				,	y Ј	-
		3

4 Ј x 2 + y2 + z 2 Ј
15.9. -	x 2		+ y2			z	Ј
		35			Ј

x Ј	y Ј			0.
16 Ј			x 2		+ y2 + z 2

49,	25 Ј x 2 + y2					+ z 2	Ј	49,
	15.8. -	x 2		+ y2		z Ј	0,
	15.8. -		24		Ј	z Ј	0,
3x.	y і -			x	,	y і -		3x.
3x.	y і -		3		,	y і -		3x.
			3
64,		16 Ј		x 2	+ y2 + z 2			Ј 100,
x 2 + y2	, 15.10.	x 2	+ y		2	z Ј		x 2 + y2	,
3	, 15.10.		15		Ј	z Ј		3	,
3			15					3
		3x Ј y Ј				0.
Ј 100,

15.11.			x	2	+ y		2			x
z Ј					3		,	-	3x Ј y Ј -		.
z Ј							,	-	3x Ј y Ј -	3	.
										3
16 Ј			x 2		+ y2		+ z2 Ј		64,
15.12. z і		-		x 2 + y2				,
15.12. z і		-			63			,
	x				63
-	x		Ј		y Ј	-		3x.
-	3		Ј		y Ј	-		3x.
	3
4 Ј		x 2 + y2				+ z 2 Ј			49,
15.13.			x	2	+ y		2	y Ј 0, y Ј 3x.
z і					99		,	y Ј 0, y Ј 3x.
					99

122

36 Ј

x 2

+ y2

+ z2

121,

15.14.

z і -

x 2

+ y2

y і 0,

y і

3x.

4 Ј

x 2

+ y2

+ z 2

64,

36 Ј x 2

+ y2 + z 2

144,

15.15. 0 Ј

z Ј

x 2

+ y

15.16. -

x 2

+ y

y Ј

3x,

y Ј

y і

3x,

y і

9 Ј

x 2

+ y2

+ z 2

81,

36 Ј

x 2

+ y2

+ z 2

144,

15.17.

x 2 + y

x 2 + y2

x 2 + y

z Ј

x 2 + y2

, 15.18.

0 Ј y Ј - x.

0 Ј y Ј -

3x.

36 Ј

x 2

+ y2

+ z 2

144,

36 Ј

x 2

+ y2

+ z 2

100,

x 2

+ y2

15.19.

15.20.

z і

z Ј

x 2

+ y

3x Ј y Ј

y Ј

3x.

9 Ј

x 2

+ y2

+ z 2

64,

49 Ј

x 2

+ y2

+ z 2

144,

15.21. z і

x 2

+ y

15.22.

x 2

+ y2

y Ј

y Ј -

y і

y і -

9 Ј

x 2

+ y2

+ z 2

81,

49 Ј

x 2

+ y2

+ z 2

81,

15.23. 0 Ј

z Ј

x 2

+ y

15.24. -

x 2

y Ј 0,

y Ј

y і 0,

y і

16 Ј

x 2

+ y2

+ z 2

100,

64 Ј

x 2

+ y2

+ z2

196,

15.25.

x 2 + y

x 2 + y2

x 2 + y

z Ј

x 2 + y

, 15.26.

0 Ј y Ј x.

0 Ј y Ј

3x.

123

64 Ј		x 2	+ y2	+ z2	Ј	196,
15.27.		x 2	+ y2		x
z Ј			3	,		Ј y Ј	0.
z Ј				,	3	Ј y Ј	0.
					3
64 Ј		x 2	+ y2	+ z2	Ј	144,
15.28.		x 2 + y2					x
z і	-		63	,	0	Ј y Ј		.
z і	-			,	0	Ј y Ј	3	.
							3
16 Ј		x 2	+ y2 + z 2		Ј	81,		64 Ј	x 2	+ y2	+ z 2 Ј 169,
15.29. z і		x 2	+ y2	,			15.30. z Ј		-	x 2 + y2
15.29. z і			99	,			15.30. z Ј		-	99	,
			99							99
y Ј 0,			y Ј -	3x.				y і 0,		y і -	3x.

Задача 16. Тело V задано ограничивающими его поверхностями, μ -

плотность. Найти массу тела.

64	(		y2	)	= z 2, x 2 + y2 =			4,
64		x 2 +	y2		= z 2, x 2 + y2 =			4,
16.1. y =		0,	z =		0	y і 0, z	і 0	,
						(		)

m =	(			y2	)	4.
m =	5 x 2 +			y2		4.
x 2 + y2 + z 2 = 4, x 2 + y2 = 1,
(	+ y2 Ј			)		x =	0	(x і	0);
16.2. x 2	+ y2 Ј			1 ,		x =	0	(x і	0);
m =	4	z	.
m =	4	z	.
x 2 + y2 = 1, x 2 + y2 = 2z,									0,	y і 0 ;
16.3. x =	0, y =			0,	z =		0	x і	0,	y і 0 ;
								(		)
m = 10x.
x 2 + y2 = 16 z 2, x 2 + y2 =									4 z,
16.4. x =	49					x і	0,	y і	7	;
16.4. x =	0, y =			0,		x і	0,	y і	0	;
						(				)
m =	80yz.

124

x 2 + y2 + z 2 = 1, x 2 + y2 = 4z 2,		0 ;
16.5. x =	0, y = 0, x і 0, y і 0, z і	0 ;
	(	)
m =	20z.

	(		2 + y2											)		= z2, x					2 + y2 = 1,
36		x	2 + y2													= z2, x					2 + y2 = 1,
16.6. x =		0,									z =						0		x і		0,		z і	0	,
																			(					)
m =			5			x 2						+ y						2 .
			6	(														)
x 2	+ y2										+ z 2						= 16,			x 2			+ y2	=	4,
(	2	+ y2 Ј														)
16.7. x	2	+ y2 Ј												4				;
m =			2		z						.
m =			2		z						.
x 2 + y2 = 4, x 2 + y2 = 8z,																									y і 0	;
16.8. x =		0,						y =							0,				z =	0			x і 0,		y і 0	;
																					(					)
m =			5x.
x 2 + y2 =														4			z 2, x 2				+ y2 =			2 z,
x 2 + y2 =													25				z 2, x 2				+ y2 =			2 z,
16.9. x =		0,											25						x і		0,		y і	5	;
16.9. x =		0,						y =							0,				x і		0,		y і	0	;
																			(						)
m =			28xz.
x 2 + y2 + z 2 = 4, x 2 + y2 = z2,																										0 ;
16.10. x =			0,								y =							0,	x і		0, y і			0, z і		0 ;
																			(							)
m =			6z.
		(					+ y2								)			= z 2, x 2 + y2 = 4,
25 x 2							+ y2											= z 2, x 2 + y2 = 4,
x =			0,									y =						0,	z =		0
16.11. (				0,								y і						0,	z і		0	)
	x і			0,								y і						0,	z і		0		,
m =			2			(													)
m =			2							x		2 + y2 .
x 2 + y2 + z 2 = 9, x 2 + y2 = 4,
(		2	+ y2									Ј						)	y =		0		(y і		0);
16.12.	x	2	+ y2									Ј				4 ,			y =		0		(y і		0);
m =					z				.

125

x 2 + y2 = 1, x 2 + y2 = 6z,

y і

;

16.13. x =

y =

z =

x і

(

)

m =

90y.

x 2 + y2 =

z 2

, x

2 + y2 =

1 z,

16.14. x =

x і

y і

y =

0 ;

(

)

m = 14yz.

x 2 + y2 + z 2 = 4, x 2 + y2 = 9z2,

;

16.15. x =

y =

x і

y і

z і

(

)

m = 10z.

(

+ y2

)

= z 2, x 2 + y2 = 4,

9 x 2

x =

y =

z =

16.16. (x і

y і

)

z і

0),

m =

(

+ y2

5 x 2

x 2

+ y2

+ z 2

)

16.17. x 2

+ y2

(

x 2 + y2

Ј 1 ;

m =

x 2 + y2 = 1, x 2 + y2 = z,

16.18. x =

y =

z =

(x і

y і

0 );

m = 10y.

x 2 + y2 =

z 2

, x

2 + y2 =

1 z

16.19. x =

y =

(x і

y і

0);

m = 10xz.

x 2 + y2 + z 2 = 4, x 2 + y2 = 4z 2,

16.20. x =

y =

(x і

y і

z і

0);

m = 10z.

126

(

)

= z 2, x 2 + y2 = 1,

16 x 2 + y2

16.21. x =

y =

)

z =

(x і

y і

0, z і 0),

m =

(

5 x 2 + y2 .

x 2

+ y2

+ z 2

= 16,

)

16.22. x 2

+ y2

(

x 2 + y2

Ј 4

;

m =

x 2 + y2 = 4, x 2 + y2 = 4z,

16.23. x =

y =

z =

(x і

y і

0);

m =

5y.

x 2 + y2 = z 2, x 2 + y2 = z,

16.24. x =

y =

(x і

y і

0);

m =

35yz.

x 2 + y2 + z 2 = 1, x 2 + y2 = z 2,

16.25. x =

y =

(x і

y і

z і

0);

m =

32z.

x 2 + y2 = z 2, x 2 + y2 = 4,

x =

y =

z =

16.26. (x і

y і

)

z і

0),

m =

(

5 x 2 + y2

x 2 + y2 + z 2 = 9, x 2 + y2 = 4,

(

+ y2 Ј

)

z = 0

(z і

0);

16.27. x

4 ,

m =

2z.

x 2 + y2 = 1, x 2 + y2 = 3z,

16.28. x =

y =

z =

x і

y і

;

(

)

m = 15x.

127

x 2 + y2		=	4	z 2	, x 2	+ y2 =		2 z,
x 2 + y2		=		z 2	, x 2	+ y2 =		2 z,
16.29. x =	0,	49			x і	0,	y і	7		;
16.29. x =	0,	y =	0,		x і	0,	y і	0		;
					(				)
m =	20xz.
x 2 + y2		+ z 2		= 16,		x 2	+ y2	=		9z 2,
16.30. x =	0,	y =	0,		x і	0,	y і	0,		z і 0 ;
					(					)
m =	5z.

128

ЛИТЕРАТУРА

1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969.

2.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.:

Наука, 1989.

3.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука,

1999.

4.Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 1965.

5.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.:

Наука, 1981.

6.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.

–Т.2. М.: Наука, 1981.

7.Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 1981.

8.Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1973.

129

	ОГЛАВЛЕНИЕ
I. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ......................................................................................................................		4
1.	Двойной и тройной интегралы, их свойства. ................................................................................	4
2.	Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах путем сведения его к
повторному..........................................................................................................................................		9
3.	Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.......................................................	14
4.	Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах....................................................	17
5.	Криволинейные системы координатв трехмерном пространстве.............................................	21
6.	Якобиан и его геометрический смысл.........................................................................................	22
7.	Замена переменных в кратных интегралах................................................................................	24
II. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ..............................................................		28
1.	Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и вычисление.....................................	28
2.	Криволинейный интеграл второго рода......................................................................................	31
3.	Формула Грина..............................................................................................................................	34
4.	Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.........	37
5.	Поверхностный интеграл первого рода......................................................................................	41
6.	Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода.....................................................................	42
7.	Поверхностный интеграл второго рода, его свойства и вычисление......................................	44
8.	Связь поверхностных интегралов первого и второго рода........................................................	48
9.	Формула Гаусса-Остроградского.................................................................................................	49
10. Формула Стокса..........................................................................................................................		52
III. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ, КРИВОЛИНЕЙНЫХ И
ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ......................................................................................................		58
1.	Двойной интеграл.........................................................................................................................	58
2.Тройной интеграл..........................................................................................................................		66
3.	Криволинейные интегралы..........................................................................................................	70
4.	Поверхностный интеграл 1-го рода.............................................................................................	73
Практические занятия...........................................................................................................................		76
Двойные и тройные интегралы........................................................................................................		76
Криволинейные и поверхностные интегралы.................................................................................		80
Варианты контрольной работы............................................................................................................		87
Задания для курсового проектирования .............................................................................................		91
Литература..........................................................................................................................................		129
Оглавление..........................................................................................................................................		130

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
20.06.20141.45 Mб5Вопросы к экзамену 2010.JPG
#
20.06.2014168.94 Кб6Вопросы к экзамену за 3й семестр [jpg].jpg
#
20.06.201453.73 Кб15Задание 75 интегралов.pdf
#
20.06.2014888.19 Кб64Кратные интегралы.pdf
#
20.06.2014122.37 Кб35Лабораторная работа №1 «Вычисление интеграла методом трех восьмых».doc
#
20.06.2014836.76 Кб11Лабораторная работа №1.doc
#
20.06.2014909.58 Кб406Оптимизация, численные методы.pdf
#
20.06.20141.32 Mб32Решенный ТР №3 Вариант 5.rar_31
#
20.06.2014282.42 Кб25Решенный ТР №3 Вариант 8.pdf