Иктиб ита юфу курс лекций по математике Лекция 7 Векторная алгебра, базис и координаты

Что главное мы узнали на прошлой лекции

На прошлой лекции мы закончили изучения ряда методов решения СЛАУ.

Что мы узнаем на этой лекции

Мы изучим ряд вопросов, связанные с линейными векторными пространствами. Конкретные вопросы: Векторы, зависимость, независимость векторов, базис и координаты. Декартова система координат. Скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов. Вычисление этих величин в декартовой системе координат.

1. Геометрический вектор, линейные операции над векторами

Определение 1. Геометрическими векторами называются направленные отрезки, которые считаются равными, если длины отрезков и их направления совпадают, и для которых введены операции сложения векторов и умножения вектора на число по следующим правилам:

Пусть заданы 2 вектора и , тогда суммой этих векторов называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора , если начало вектора приставлено к концу вектора .

Пусть задан вектор и число , тогда произведением вектора на число , называется вектор , по длине равный длине вектора , умноженной на модуль числа , одинаково направленный с вектором при и противоположно направленный с вектором при .

Отметим некоторые обозначения и выводы из определения 1.

Пусть у вектора начальной точкой является точка , а конечной точкой – точка . Тогда , . Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором, т. е. . Обычным образом определяется разность векторов.

Введенные операции обладают следующими свойствами: 1) - коммутативность, 2) - ассоциативность, 3) - существование нулевого элемента, 4) существование противоположного элемента , 5) , 6) дистрибутивность для числовых коэффициентов, 7) - дистрибутивность для векторов, 8) .

Познакомимся с понятиями линейной зависимости, линейной независимости векторов, базисом и координатами.

2. Линейная зависимость и независимость векторов

Определение 2. Множество элементов произвольной природы называется векторным пространством или линейным векторным пространством, если для этих элементов введены операции сложения и умножения на действительное число, причем для этих операций справедливы 8 свойств, указанных для операций с геометрическими векторами.

Пусть заданы векторы , ,…, векторного пространства и числа , ,…, . Величина (1)

называется линейной комбинацией заданных векторов , ,…, . При этом числа , ,…, называются коэффициентами линейной комбинации (1). Очевидно, что линейная комбинация векторов равна (нулевому вектору), если все коэффициенты линейной комбинации равны 0. Может ли линейная комбинация векторов быть равной 0 при других обстоятельствах?

Определение 3. Система векторов , ,…, называется линейно независимой системой векторов, если из равенства ее линейной комбинации следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны 0.

Если не выполнены условия определения 1, то система векторов называется линейно зависимой системой векторов. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы равен линейной комбинации остальных векторов этой системы.

Геометрическими векторы называются коллинеарными векторами, если они параллельны одной прямой.

Геометрическими векторы называются компланарными векторами, если они параллельны одной плоскости.

Теорема 1. Любые 2 не коллинеарных вектора на плоскости линейно независимы, причем любой третий вектор является их линейной комбинацией.

Теорема 2. Любые 3 не компланарных вектора на плоскости линейно независимы, причем любой четвертый вектор является их линейной комбинацией.

Доказательство теорем 1 и 2 проводится в школьном курсе и приведено на лекции.

Определение 4. Линейно независимая система векторов линейного векторного пространства , ,…, называется базисом этого векторного пространства, если каждый его вектор является линейной комбинацией векторов , ,…, . При этом коэффициенты этой линейной комбинации определяются однозначно и называются координатами вектора в этом базисе.

Следовательно, любые 2 не коллинеарных вектора и на плоскости образуют базис. Это означает, что для произвольного вектора существуют числа и такие, что . Числа и определяются однозначно и называются координатами вектора в базисе , .

Аналогично любые 3 не компланарных вектора , и в пространстве образуют базис. Это означает, что для произвольного вектора существуют числа , , такие, что . Числа , , определяются однозначно и называются координатами вектора в базисе , , . Давайте в этом случае проверим, что коэффициенты разложения вектора по базису, т. е. координаты вектора определяются однозначно. Пусть справедливы 2 равенства: и . Их разность дает соотношение . Однако векторы базиса , , линейно независимы, и из равенства их линейной комбинации следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны 0, т. е. , , . Следовательно, 2 написанных разложения являются одним и тем же разложением вектора по базису.

Заметим, что в рассмотренных примерах число векторов базиса не зависит от выбора базиса. Это число называется размерностью векторного пространства. Плоскость является линейным пространством размерности 2, а обычное пространство имеет размерность 3.