2.6. Понятие «квантор»

Пусть имеется предикат Р(х) определённый на множестве М. Чтобы превратить предикат Р(х) в высказывание достаточно вместо х в предикат подставить некоторый элемент , при этом высказывание будет истинным или ложным. Но существует и другой способ превращения предиката в высказывание c помощью кванторов.

Пусть Р(х): “Число х – простое число”, где (N – множество натуральных чисел).

Так как множество простых чисел является подмножеством множества N, то предложение “Для всякого х из N истинно, что х – простое число” будет ложным высказыванием. А предложение “Существует такое , что х – простое число” будет истинным высказыванием.

Выражение “для всякого х“ называется квантором всеобщности по переменной х. Квантор всеобщности обозначается так: ( от английского слова All – “все”). Под выражением понимают истинное высказывание, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М.

Выражение “существует х такое, что …” называют квантором существования по переменной х и обозначается так: (от английского слова Exist – “ существовать”).

Под выражением понимают высказывание “Существует х такое, что Р(х) истинное высказывание.”

Вместо слова “всякий” употребляют слова “каждый”, “любой”; вместо слова “существует” – слова “есть”, “найдётся”, “ который”, “хотя бы один”.

Переход от предиката Р(х) к высказыванию в форме или называется операцией квантификации предиката. В результате квантификации переменная х в Р(х) перестаёт быть переменной в прежнем смысле этого слова, т.е. становится символом вместо которого можно подставлять объекты из множества М. В выражении Р(х) переменная х называется свободной, а в выражении или - связанной.

Если множество М значений переменной х является конечным множеством , то:

• высказывание равносильно конъюнкции всех значений предикатной функции

• высказывание равносильно дизъюнкции всех значений предикатной функции .

Например, предикат Р(х): “х – чётное число”, где переменная х принимает значения из множества . Тогда утверждение равносильно утверждению “a – чётное число” и “b – чётное число” и “c – чётное число”. А утверждение равносильно утверждению “a – чётное число” или “b – чётное число” или “c – чётное число”.

Операцию квантификации можно обобщить на многоместные предикаты.

Пусть - n-местный предикат. Переход от предиката к предикату либо к предикату называется квантификацией предиката по переменной . В этом случае переменная становится связанной переменной и предикат становится (n-1)–местным. Кванторные операции могут быть применены к любому числу переменных n–местного предиката.

Рассмотрим предикат Р(х,у): “ х разделить на у” (x/y), определённый на множестве N={1,2,3,…}. Применение кванторных операций к Р(x,у) приводит к восьми возможным высказываниям:

1. - “Для любого у и для любого х, у является делителем x”,

2. - “Существует у, которое является делителем всякого x”,

3. - “Для любого у существует х такое, что х делится на у”,

4. - “Существует у и существует х такие , что у является делителем х”,

5. - “Для всякого х и для всякого у, у является делителем х”.

6. - “Для всякого х существует такое у, которое является делителем х”,

7. - “Существует такое х и существует такое у, что у является делителем х”,

8. - “Существует такое х, что для любого у, х делится на у”.

Высказывания 1 и 5, а также 4 и 7 имеют один и тот же смысл и, следовательно, одно и тоже значение истинности. Если истинно высказывание 8, то, очевидно, истинно и высказывание 3, но не наоборот. Если истинно высказывание 2, то очевидно истинно и высказывание 6, но не наоборот.

Примеры решения задач по теме «Алгебра логики»

Пример. Проверить равносильность формул с помощью таблиц истинности:

1 ) А  В = А + В, 2) А  В =В  А, 3) А (А + В)= А,

4 ) А + АВ = А , 5) АВ = А + В , 6) А + В = А В

Таблица 1	Таблица 2
А В А В А А + В 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1	А В А В В А В А 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1
Таблица 3	Таблица 4
А В А + В А(А + В) 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1	А В АВ А + АВ 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
Таблица 5	Таблица 6
А В АВ А В А В А + В 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0	А В А + В А + В А В А В 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0

Таким образом, равносильными являются формулы 1 и 2, 3 и 4 (значения последних столбцов совпадают).

Пример. Получить СДНФ для функции .

Решение.

1. С помощью таблицы истинности.

Построим таблицу истинности функции. Складываем конституенты для которых функция равна 1 и получаем СДНФ функции. СДНФ

x	y
0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 1 0	1 0 1 1	0 0 0 1	0 0 1 1

2. С помощью равносильных преобразований.

Используя закон дистрибутивности и закон противоречия получаем ДНФ функции.

ДНФ .

Чтобы первая конъюнкция была полной, используем тождество .

а это уже СДНФ.

Пример. Получить СКНФ для функции

1. С помощью таблицы истинности.