2.4 Общие свойства алгебры логики и алгебры множеств
Рассмотрим общие свойства алгебры множеств и алгебры логики. Для этого приведем формальное определение алгебры Буля.
Алгебру
логики можно рассматривать как
упорядоченную четвёрку (
), где В есть непустое множество, имеющее
не менее двух элементов, а
есть множество основных логических
операций, определённых над элементами
множества В, среди которых две бинарных
(,
)
и одна унарная
и выполняются следующие независимые
аксиомы:
1. - закон коммутативности;
2.
- закон дистрибутивности;
3.
- закон нуля и единицы;
- закон противоречия
и исключенного третьего.
Алгебру множеств
можно рассматривать как упорядоченную
четвёрку (
),
где U
непустое множество, имеющее не менее
двух элементов, а
- множество основных операций, определённых
над элементами множества U,
среди которых две бинарных операции
(
)
и одна унарная -
и выполняются следующие независимые
аксиомы:
1.
- закон коммутативности;
2.
- закон дистрибутивности;
3.
,
,
- свойства универсального и пустого
множеств, где
.
Формальное отличие
этих алгебр в пункте 3, где константам
0 и 1 в алгебре Буля соответствуют пустое
и универсальное множества (
и
).
Таким образом, формально алгебра множеств
является алгеброй логики.
2.5. Понятие «предикат»
Исчисление высказываний не разделяет предложение на составляющие необходимые для вывода заключения. Поэтому возникает необходимость ввести в логику высказываний такие объекты, которые бы позволяли учитывать внутреннюю структуру высказываний. Такой логической системой является логика предикатов.
Предикат – выражение с логическими переменными, имеющее смысл при любых допустимых значениях этих переменных. Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо переменных их значений, называется высказыванием или высказывательной формой. Например,
выражения: х > 5, x > y – предикаты;
7>5 – высказывание.
Логика предикатов разделяет элементарное высказывание на субъект и предикат. Субъект – это то, о чём что–то утверждается в высказывании.
Таким образом, предикат – это то, что утверждается о субъекте.
Например, в
высказывании “7
есть простое число.”,
7 - это субъект, “простое число” – это
предикат. Это высказывание утверждает,
что 7 обладает свойством – оно простое
число. Если заменить в рассмотренном
примере конкретное число “7” переменной
х
из множества натуральных чисел (
,
то получим высказывательную форму “x
– простое число”;
которая формально записывается так
Р(х).
При одних значениях х,
например при х=3
или х=11
эта форма даёт истинные высказывания,
а при других, например при х=4
или х=9
эта форма даёт ложные высказывания.
Таким образом, эта высказывательная
форма определяет функцию одной переменной
х,
определённой на множестве N,
и принимающую значения из множества
{t,f}.
Одноместным предикатом Р(х), называется произвольная функция одной переменной х, определённая на некотором множестве М и принимающая значения на множестве {t - true, f - false}.
Множество М, на
котором определён предикат Р (х),
называется областью определения
предиката. Так как множество М, это есть
множество некоторых предметов (объектов),
то х
называют также предметной переменной.
Множество всех
,
при которых предикат принимает значение
“истина”, называется множеством
истинности предиката Р(х),
т.е. множество истинности предиката
Р(х)
– это множество
.
Так предикат Р(х):
“x
– простое число”
определён на множестве N,
а множество
для него есть множество всех простых
чисел.
Предикат Р(х),
определённый на множестве М, называется
тождественно истинным (тождественно
ложным), если
(
.
Можно
ввести двухместный предикат – Р(х,y):
“х изучает
y”,
где у принимает значения из предметной
области
.
Введём
трёхместный предикат Р(х,у,z):
“ x
есть сумма у и z”.
Предположим, что сумма известна х=5.
Тогда трёхместный предикат превратится
в двухместный: Р(5,у,z)=
(у,z):
“5 есть сумма
у и z
”.
Таким образом можно ввести n-местный предикат. Следовательно, предикат есть ни что иное, как функциональное высказывание.