Из таблицы истинности видно, что тождество соответствует операции “и-не”, поэтому операцию “штрих Шеффера” также называют “и-не”. Очевидны следующие тождества:

,

Т.Е. Операция отрицания и операция конъюнкции могут быть выполнены с помощью операции “штрих Шеффера”. Это означает, что множество операций {|} является полным.

Операция “стрелка Пирса” обозначается и определяется таблицей истинности:

x	y
0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 0

Из таблицы истинности видно, что тождество соответствует операции “ИЛИ-НЕ”, поэтому операцию “стрелка Пирса” также называют “ИЛИ-НЕ”. Очевидны следующие тождества,

т.е. операции отрицания и конъюнкции могут быть выполнены с помощью операции “стрелка Пирса”.

2.3. Стандартные формы логических выражений

Одну и ту же зависимость между логическими переменными можно выразить различными формулами. Существуют стандартные формы, к которым приводятся логические выражения с помощью эквивалентных преобразований. Стандартные формы повышают эффективность вычислений.

Рассмотрим дизъюнктивную и конъюнктивную нормальную форму.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) есть формула, записанная в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций и имеет вид

A_l v A₂ v ... v A_n,

где каждое из составляющих есть конъюнкция простых высказываний и их отрицаний, т.е. А₁=(а₁₁  а₁₂  ...  а_1n), аналогично для всех составляющих. Пример ДНФ В = ( А₁  А₂  A₃) v (А₄  А₅).

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) есть формула, записанная в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций и имеет вид

А₁  А₂  ...  A_n,

где каждое из составляющих есть дизъюнкция простых высказываний и их отрицаний, т.е. А₁=(а₁₁ V а₁₂ V ... V а_1n). Аналогично для всех составляющих. Пример КНФ В = (A_l V А₂ V A₃)  (А₄ V А₅)  А₆.

Если каждая элементарная дизъюнкция формулы содержит символы всех переменных, то такая формула называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ). Каждое слагаемое (конъюнкция) в СДНФ называется конституентой единицы.

Пример СДНФ:

.

Можно доказать, что для всякой булевой функции не равной тождественно нулю, существует единственная СДНФ.

Свойства СДНФ:

1. каждая конституента содержит все переменные, входящие в функцию

2. все конституенты различны;

3. ни одна конституента не содержит одновременно переменную и её отрицание;

4. ни одна конституента не содержит одну и ту же переменную дважды.

Эти свойства СДНФ называются свойствами совершенства.

Существует два способа получения СДНФ для булевой функции: с помощью таблицы истинности и с помощью равносильных преобразований.

Пример. Получим СДНФ для функции .

1. С помощью таблицы истинности.

Построим таблицу истинности функции. Выполним следующие действия:

- строки, в которых функция равна 1 (строки 3,4), единицу заменим обозначением функции f (x,y);

- строим конъюнкции для этих 2-х строк, соответственно из аргументов строки 3 и 4 по следующему правилу: если аргумент равен 1, то он входит в конъюнкцию без изменения, если равен 0, то входит с отрицанием, т.е. для 3-ей строки для 4-ой ;

- комбинации конъюнкций соединим знаками дизъюнкции. Для рассматриваемого примера получим СДНФ в виде

x	y
0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 1 0	1 0 1 1	0 0 0 1	0 0 1 1

2. С помощью равносильных преобразований.

Используя закон дистрибутивности и закон противоречия получим

= .

Фактически получили ДНФ функции, чтобы первая конъюнкция была полной, используем тождество . Тогда получим

что представляет СДНФ.

Если каждая элементарная конъюнкция формулы содержит символы всех переменных, то такая формула называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ). Каждое слагаемое (дизъюнкция) в СКНФ называется конституентой нуля.

Пример СКНФ:

.

Можно доказать, что любая не равная тождественно единице булева функция имеет единственную СКНФ.

СКНФ имеет следующие свойства:

1. все элементарные дизъюнкции, входящие в СКНФ различны;

2. все элементарные дизъюнкции, входящие в СКНФ , содержат полный набор переменных;

3. каждая элементарная дизъюнкция, входящая в СКНФ , не содержит двух одинаковых переменных;

4. каждая элементарная дизъюнкция, входящая в СКНФ , не содержит переменную и её отрицание.

Существует два способа получения СКНФ для булевой функции: с помощью таблицы истинности и равносильных преобразований.

Пример. Получить СКНФ для функции

1. С помощью таблицы истинности.

Для этой функции таблица истинности была построена в предыдущем примере. Выбираем комбинации переменных, на которых функция равна нулю и выполняем аналогичные действия, но аргументы равные 1 берутся с отрицанием. Получим СКНФ в виде .

2. С помощью равносильных преобразований.

Чтобы дизъюнкция имела полный набор переменных , используем тождество

- СКНФ.

Любая булева функция может быть представлена в двух нормальных формах ДНФ или КНФ.