2.2. Функции алгебры логики (булевы функции).

С помощью логических операций из простых высказываний (логических переменных и констант) можно построить логическое выражение, которое называется формулой алгебры логики. Например, логическое выражение С = (( A v B)  B) v А.

Принято следующее соглашение о старшинстве логических операций: первыми выполняются операции в скобках, затем операции в следующем порядке слева направо - отрицание, конъюнкция и дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

Все возможные логические значения формулы, в зависимости от значений входящих в неё логических элементов, удобно представить с помощью таблицы истинности. Например, для формулы

0 0 1 1	1 0 0 1	1 0 1 1	0 1 0 0	0 0 0 0

Формулы алгебры логики обозначаются заглавными буквами латинского алфавита A,B,C,… . Пусть А и В две формулы алгебры логики, а - полный набор элементов, входящих в эти формулы.

Формулы А и В называются равносильными, если для любого набора значений элементов они принимают одинаковое значение. Равносильность обозначается А В.

Применение аксиом алгебры логики приводит к равносильным преобразованиям, которые позволяют упростить формулу. Формула А считается проще равносильной ей формулы В, если она содержит меньшее число переменных или меньшее число логических операций. Равносильные преобразования позволяют привести формулу к заданному виду без нарушения логики.

Примеры.

1. Упростить формулу

2. Доказать тождество.

3. Доказать тождество.

где

Так как логические значения формулы логики полностью определяются значениями входящих в неё элементов, то формулу логики можно рассматривать как функцию логических элементов, которые называются логическими переменными.

Функция алгебры логики (булева функция) это функция, аргументы которой и сама функция принимают лишь два значения 0 и 1, математически это можно записать в виде

Рассмотрим таблицу истинности для всевозможных функций двух переменных .

x	y
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 0	0 0 0 1	0 0 1 0	0 0 1 1	0 1 0 0	0 1 0 1	0 1 1 0	0 1 1 1	1 0 0 0	1 0 0 1	1 0 1 0	1 0 1 1	1 1 0 0	1 1 0 1	1 1 1 0	1 1 1 1

Из таблицы видно, что две функции и являются константами, поскольку аргументы имеют одно и то же значение. Из приведенной таблицы истинности видно, что соответствует функции , т.е. . Все остальные функции также могут быть записаны в виде логических формул.

Введём две новые операции, которые широко применяются в информатике: “штрих Шеффера” и “стрелка Пирса”.

Операция “штрих Шеффера” обозначается x|y и определяется таблицей истинности:

x	y	x|y
0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 1 0