1.2.1.3. Некоторые виды математических моделей

Начнем с конца и запишем достаточно общее выражение модели объекта

(1.5)

где x- вектор состояний,w- вектор входных воздействий,f- вектор-функция.

Модель вида (1.5) описывает непрерывную, многомерную, нестационарную, нелинейную, детерминированную (если вектор w детерминированный) систему.

Детерминированность означает одновременную определённость всех величин.

x(k+1) =f(x(k),w(k),k) (1.6)

- описывает дискретную многомерную, нестационарную, нелинейную, детерминированную (если w - детерминированный вектор) систему.

(1.7)

- описывает непрерывную многомерную, стационарную, нелинейную, детерминированную (если w - детерминированный вектор) систему.

x(k+1) =f(x(k),w(k)) (1.8)

- описывает дискретную многомерную, стационарную, нелинейную, детерминированную (если w - детерминированный вектор) систему.

(1.9)

- описывает непрерывную многомерную, нестационарную, линейную, детерминированную (если w – детерминированный вектор) систему.

x(k+1) =A(k)x(k) +B(k) w(k), (1.10)

- описывает дискретную многомерную, нестационарную, линейную, детерминированную (если w – детерминированный вектор) систему.

(1.11)

- описывает непрерывную многомерную, стационарную, линейную, детерминированную (если w - детерминированный вектор) систему.

x(k+1) =Ax(k) +Bw(k), (1.12)

- описывает дискретную многомерную, стационарную, линейную, детерминированную (если w – детерминированный вектор) систему.

В случае, когда w(k) является стохастическим векторным процессом, для него используются следующие характеристики:

- вектор средних значений:

m(k) = E {w(k)} (1.13)

E– оператор взятия математического ожидания.

- ковариационная матрица:

R_w(k₁,k₂) = E{[w(k₁) - m(k₁)][w(k₂) - m(k₂)]^T} (1.14)

R_w(k,k) = Q(k) - матрица дисперсий

- матрица смешанных моментов второго порядка:

C_w(k₁,k₂) = E {w(k₁),w^T(k₂)} (1.15)

C_w(k,k) = Q’(k) матрица моментов второго порядка

В таких же терминах получают выходные величины, которыми мы управляем. Целью управления является достижение определенных, чаще минимальных значений дисперсий, ковариаций.

1.2.2. Сложные системы

1.2.2.1. Примеры и свойства сложных систем

Выше говорилось о технических системах и объектах различной природы. Но системы могут быть не только технические. Например, ЛГТУ, металлургический комбинат, ЦУМ, город Липецк, РФ - все это системы, которыми необходимо управлять. Достаточно общее определение системы можно дать следующее: система есть обособленное от окружающей среды множество взаимосвязанных объектов, в совокупности выполняющих определенные функции.

Сложная система это система, состоящая из систем обычно различной природы, называемых подсистемами. Полностью обособленная от внешней среды система называется консервативной.

Эволюционирующая система не может быть консервативной, т. к. она должна получать энергию, необходимую для поддержания жизнедеятельности. Кроме того, наиболее часто цели жизнедеятельности системы, ее функционирования определяются внешними по отношению к ней объектами. Поэтому обособленность системы от внешней среды не является полной.

Сложная система обладает рядом характерных черт: целостность, целенаправленность, необходимость управления, саморегулирование, самоорганизация, сложная внутренняя структура, описываемая различными законами или неизвестная, неполная определенность (элементы черного или серого ящика), наличие смеси детерминированных и стохастических процессов, наличие неизмеримых, а также неметрических величин.

Все перечисленные выше примеры систем наделены отмеченными свойствами. Например, государство – целостная, обособленная от других стран структура, основная цель – защита личности от внутренних и внешних опасностей. Цель обеспечивается соответственно органами правопорядка и армией. Управление обеспечивается системой законов и органами надзора за их исполнением. Саморегулируемость обеспечивается рынком, в котором инфляция играет роль отрицательной обратной связи. Самоорганизация обеспечивается в любом демократическом государстве наличием иерархической структуры самоуправления, сложность структуры, неопределенность, стохастичность - все эти элементы присутствуют в государстве как системе.

Вербальное описание объектов для их детального анализа и синтеза принципов и алгоритмов управления не годится - оно, с одной стороны, избыточно и одновременно, с другой - неоднозначно. Однако при описании сложных систем формальные модели, приведенные во втором параграфе, также недостаточны и не дают возможности представить все возможные объекты и связи, присутствующие в сложной системе. Более абстрактным и поэтому широким и емким является кортежное описание систем, которое допускает использование не только моделей вида (1.5) - (1.15), но и включение разнообразных алгоритмов, процедур и пр.