1.1.3. Законы теории множеств

Утверждение.Для любых подмножествА,ВиСуниверсального множестваUвыполняются следующие законы:

1. Законы коммутативности

а) , б).

2. Законы ассоциативности

а) б)

3. Законы дистрибутивности

а) б).

4. Законы де Моргана

а) б)

5. Законы идемпотентности

а) б)

6. Законы поглощения

а) б).

7. Законы тождества

а) б)

8. Законы констант

а) б)

9. Законы дополнения

а) б)

в) г)

10. Закон инволюции (снятие двойного отрицания)

1.2. Комплекты

1.2.1. Определение комплекта

Комплект–совокупность элементов, обладающих двумя свойствами:

1. элементы комплекта могут повторяться;

2. относительно каждого элемента можно сказать, принадлежит или не принадлежит он этому комплекту.

Комплекты будем обозначать следующим образом: …

Элементы комплекта – …

Универсальный комплектсостоит из всех элементов, присутствующих в данной задаче.

Комплект может быть задан перечислением своих элементов.

Пример.

={a,b,b,b,c, c, c}, ={k,k,k,n,n,o,p,p,p}.

Аналогом понятия характеристической функции множества служит понятие функции экземплярности комплекта:

k– количество элементовв комплекте.

Функция экземплярности пустого комплекта состоит из нулей

.

Функция экземплярности универсального комплекта состоит из сумм значений функций экземплярностей соответствующих элементов всех комплектов данной задачи. Если количество комплектов в задаче равно т, а количество различных элементов равноп, то

.

Мощность конечного комплекта .

Мощность пустого комплекта .

Мощность конечного универсального комплекта .

Комплект являетсяподкомплектомкомплекта, если для любого элементаимеем:. Обозначение:.

Комплект равенкомплекту, если для любого элементаимеем:. Обозначение:.

1.2.2. Операции над комплектами

Операции над комплектами определим как операции над функциями экземплярности. Здесь .

1. Объединение комплектов и

.

2. Пересечение комплектов и

.

3. Абсолютное дополнение(или просто дополнение) комплекта

.

4. Относительное дополнение комплекта до комплекта(разность)

.

5. Симметрическая разность комплектов и

.

Пример.Даны комплекты:Универсальный комплект составить из всех элементов, рассматриваемых в данной задаче. Составить функции экземплярности. Выполнить действия:.

Решение.

Универсальный комплект

.

Функции экземплярности

,

,

,

.

1. Объединение

.

2. Пересечение

.

3. Абсолютное дополнение (дополнение)

.

4. Относительное дополнение

.

5. Симметрическая разность

.

1.3. Нечеткие множества

1.3.1. Определение нечеткого множества

Основы нечеткой логики были заложены в 60-е гг. ХХ века, когда появилась потребность принятия решений в условиях неполной и нечеткой информации. Понятие нечеткого множества введено Лотфи Заде (американский математик, рожденный в 1921году вАзербайджанской ССР) в 1965 году. Он расширил понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности) может принимать любые значения на отрезке [0, 1], а не только значения 0 или 1.

Нечеткое множество– совокупность элементов, обладающих двумя свойствами:

1. в нечетком множестве нет повторяющихся элементов;

2. относительно каждого элемента можно сказать, с какой степенью он принадлежит этому нечеткому множеству. Степень принадлежности элемента изменяется на отрезке [0, 1].

Нечёткие множества будем обозначать следующим образом: …

Элементы нечёткого множества – …

Нечеткое множество может быть задано перечислением элементов с указанием соответствующей степени принадлежности

,

где U– универсальное множество, а–функция принадлежности, характеризующая степень принадлежности элементанечёткому множеству.

Рассмотрим универсальное множество , т.е. элементами являются действительные числа из отрезка [2, 8]. Пусть множествоявляется подмножеством множестваU. Представим характеристическую функцию множестваграфически (рис. 1.2)

Рис. 1.2. Характеристическая функция множества А

Таким образом, если элемент универсального множества , то, если, то. В данном случае четко определяется принадлежность элемента множеству.

Теперь рассмотрим множествоВ= {множество молодых людей}. Нижняя граница определяется значением 0 (0 лет), а верхнюю границу определить сложнее. Пусть она равняется 25 годам, т.е. Но тогда возникает вопрос: «Почему на следующий же день после 25-тилетия человек становится не молодым?». В таких случаях применяют более гибкие формулировки. Поэтому появляется потребность во введении нечеткого множества, например,= {он ещё молодой}.Функцию принадлежности представим графически (рис. 1.3)

возраст

Рис. 1.3. Функция принадлежности нечеткого множества

Таким образом, число 1 соответствует элементу универсального множества, принадлежащему нечеткому множеству , число 0 означает, что элемент точно не принадлежит. Все другие значения определяют степень принадлежности к.

Пусть и– нечеткие множества,U– универсальное (четкое) множество. Говорят, чтосодержится в, если для любого элементаимеем:. Обозначение:.

Нечеткие множества иравны, если для любого элементаимеем:. Обозначение:.