Теория автоматов

Модуль 7. Теория автоматов (4 часа)

7.1. Понятие конечного автомата. Автоматы Мили и Мура.

7.2. Способы задания конечного автомата.

7.3. Расширение функций переходов и выходов на множество входных слов.

7.4. Автоматное отображение.

7.5. Представление конечных автоматов матрицами соединений.

7.6. Дерево конечного автомата.

7. Теория автоматов

7.1. Понятие конечного автомата.

Автоматы Мили и Мура

Автомат – математическая модель реально существующих или принципиально возможных систем, осуществляющих преобразование дискретной информации.

К.А. –

- входной алфавит, его элементы – входные сигналы, их последовательности – входные слова;

- алфавит состояний, его элементы – состояния автомата в моменты времени t; их последовательности – слова состояний;

- алфавит выходов, его элементы – выходные сигналы, их последовательности – выходные слова;

функция - функция переходов, ;

функция - функция выходов, ;

q₀ = q(0) – начальное состояние.

Если в момент времени t = 1, 2, … на вход автомата последовательно подаются входные символы и при этом автомат находится в состоянии , то под воздействием символа автомат перейдет в новое состояние и выдаст выходной сигнал .

Если функция выходов зависит от входов и состояний, то КА называется автоматом Мили.

The name Mealy machine comes from that of the concept's promoter, George H. Mealy, a state-machine pioneer who wrote "A Method for Synthesizing Sequential Circuits" in 1955.¹

George Henry MEALY was born on 31 DEC 1927 in Cohasset, Norfolk County, Massachusetts²

Если функция выходов зависит от состояний, но явно не зависит от входов, то КА называется автоматом Мура.

Edward Forrest Moore (November 23, 1925 in Baltimore, Maryland – June 14, 2003 in Madison, Wisconsin) was an American professor of mathematics and computer science and the inventor of the Moore finite state machine.³

7.2. Способы задания конечного

автомата

1. Таблично

Q X	q1	…	qn		Q X	q1	…	qn
x1					x1
…					…
xm					xm

Q X	q1	…	qn
x1
…
xm

2. Диаграммы Мура – граф с n вершинами

3. Функции переходов и выходов можно задать аналитически.

7.3. Представление конечных автоматов матрицами соединений

Матрица соединений КА строится как квадратная матрица размера , строки и столбцы которой соответствуют различным состояниям КА, причем первый столбец и первая строка матрицы соответствуют начальному состоянию КА. На пересечении строки и столбца следует расположить входное воздействие, вызывающее переход автомата из состояния в , а через дробь – выходное воздействие, которое появляется на выходе автомата. Если таких дробей несколько, они все перечисляются через запятую; если их нет, то ставится .

7.4. Дерево конечного автомата

Это ориентированное дерево, корнем которого является начальное состояние КА. Следующим уровнем являются все состояния, в которые может прийти КА из начального. На дугах подписываются входные и выходные сигналы.

Характерным свойством матрицы соединений является то, что в любой ее строке каждое входное воздействие встречается не более одного раза. Это условие может служить для контроля при построении матрицы соединений.

Для КА Мура в каждом столбце матрицы соединений стоит один и тот же выход. Матрица соединений является матрицей смежности для графа КА

КА Мили

X = {1,2,3,4}, Q = {A,B,C}, Y = {k,m,n,p}

Q X	A	B	C		Q X	A	B	C
1	C	B	A		1	k	m	k
2	A	B	B		2	m	n	n
3	A	A	A		3	k	p	p
4	C	B	B		4	k	n	p

Матрица соединений КА

		в
		A	B	C
из	A
	B
	C

Дерево КА Мили

П

B

усть q₀ = B

КА Мура

X = {I, II, III}, Q = {E, F, G, H}, Y = {5, 6, 7, 8}

Q X	E	F	G	H
I	F	E	H	F
II	G	H	E	F
III	F	G	E	G
	7	6	5	8

		в
		E	F	G	H
из	E
	F
	G
	H

Дерево КА Мура

П

F

усть q₀ = F

1 http://en.wikipedia.org/wiki/Mealy_machine

2 http://freepages.genealogy.rootsweb.ancestry.com/~colby/colbyfam/b595.html

3 http://en.wikipedia.org/wiki/Edward_F._Moore