Ответы на вопросы к экзамену 2011

7)( А В) А В (первый закон де Моргана);

8)( А В) А В (второй закон де Моргана);

9)А А А (идемпотентность );

10)А А А (идемпотентность );

11)А (А В) А (первая формула поглощения);

12)А (А В) А (вторая формула поглощения);

13)А И А (первый закон тождества);

14)А Л А (второй закон тождества);

15)А И И (первый закон констант);

16)А Л Л (второй закон констант);

17)А А И (первая формула дополнения);

18)А А Л (вторая формула дополнения);

19)А (А В) (А В) (первая формула расщепления);

20)А (А В) (А В) (вторая формула расщепления);

21)А А (снятие двойного отрицания).

22)А ~ В (А В) (В А) (А В) (А В);

23)А В А В ( А В ) ;

24)А В А В ( А В ) ;

25)А В ( А В ) ( А В ) ;

26)А В (А В) (А В);

27)A | B ( A B) ;

28)A B ( A B) .

10

Вопрос №14. Закон двойственности.

Определение двойственности. Пусть X1,..., Xn – все входящие в формулу

A* ( X1 ,..., X n ) A(X1 ,..., X n ) и B* ( X1 ,..., X n ) B (X1 ,..., X n ) .

Формулы А( X1,..., Xn ) и B( X1,..., Xn ) принимают одинаковые значения при любых значениях переменных X1 ,..., X n . Следовательно, А и В будут равносильны и при переменных X 1,..., X n , т.е. A( X 1 ,..., X n ) B( X 1 ,..., X n ) . Применим операцию отрицание к формуле. Значение формул Л поменяется на значение И, а И – на Л. Но формулы при этом останутся равносильными, т.е.

Пример. X X .

Формула А называется выполнимой, если на некоторой оценке списка переменных X1,..., Xn она принимает значение И.

Пример. X Y .

Формула А называется тождественно-ложной, если на любых оценках списка переменных она принимает значение Л.

X X .

Формула А называется опровержимой, если на некоторой оценке списка переменных X1,..., Xn она принимает значение Л.

Пример. X Y . Утверждение.

11

1)А – тавтология А не является опровержимой.

2)А – тождественно-ложна А не является выполнимой.

3)А – тавтология А – тождественно-ложна.

4)А – тождественно-ложна А – тавтология.

5)А~В– тавтология А≡В.

Ниже указаны наиболее важные тавтологии (А, В, С – произвольные формулы).

Каждую из этих тавтологий можно обосновать, например, составив таблицу истинности при произвольных значениях А, В, С.

Вопрос №16. Нормальные формы.

Формула находится в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), если она является дизъюнкцией элементарных (возможно, одночленной)

(возможно, одночленной) переменных и отрицаний переменных. Формула находится в КНФ, если она является конъюнкцией (возможно, одночленной) элементарных дизъюнкций.

Вопрос №17. Совершенные нормальные формы.

Определение СДНФ. Пусть формула А зависит от n переменных. Говорят, что А находится в СДНФ относительно этих переменных, если выполняются следующие условия:

а) А находится в ДНФ (дизъюнкция элементарных конъюнкций);

12

б) в ней нет двух одинаковых дизъюнктивных членов (т.е.

конъюнкция) формулы А является n-членной конъюнкцией, причем на i-ом месте (1≤ i ≤ n) этой конъюнкции обязательно стоит либо переменная X i , либо еѐ отрицание X i .

Теорема. Пусть формула А зависит от списка переменных ( X1 , , X n ) и А не тождественно-ложная формула. Тогда существует такая формула В, что A B и В находится в СДНФ относительно списка этих переменных.

Доказательство. По теореме 6.2 существует формула A1 такая, что

и A1 находится в ДНФ. Пусть A1 зависит от списка переменных ( X1 , , X n ). Рассмотрим все еѐ элементарные конъюнкции:

а) элементарная конъюнкция D содержит один раз X i и не содержит ни разу X i ;

б) элементарная конъюнкция D содержит один раз содержит ни разу X i ;

в) элементарная конъюнкция D не содержит ни X i , ни X i .

В последнем случае заменяем D на D X i D X i по первой формуле расщепления (равносильность 19) (для выполнения условий а) или б)).

4)Переупорядочим в каждой элементарной конъюнкции еѐ члены так, чтобы на i-ом месте в ней стояла X i или X i .

5)Если в преобразованной формуле несколько раз встречается одна и та же элементарная конъюнкция, то, пользуясь равносильностью

13

10 (идемпотентность ), выбрасываем все еѐ вхождения, кроме одного.

Доказательство завершено.

Теорема о единственности СДНФ. Если B1 и B2 – СДНФ формулы А относительно списка переменных ( X1 , , X n ), то B1 и B2 могут отличаться только порядком своих дизъюнктивных членов.

Определение СКНФ. Пусть формула А зависит от n переменных. Тогда говорят, что А находится в СКНФ относительно переменных, если формула A* находится в СДНФ относительно тех же переменных.

Эквивалентное определение. Говорят, что А находится в СКНФ относительно списка переменных, если выполняются следующие условия:

а) А находится в КНФ (конъюнкция элементарных дизъюнкций); б) в ней нет двух одинаковых конъюнктивных членов (т.е.

элементарных дизъюнкций); в) каждый конъюнктивный член (элементарная дизъюнкция)

формулы А является n-членной дизъюнкцией, причем на i-ом месте (1≤ i ≤ n) этой дизъюнкции обязательно стоит либо переменная X i , либо еѐ отрицание X i .

Теорема. Пусть формула А зависит от списка переменных ( X1 , , X n ) и А не тождественно-истинная. Тогда существует такая формула В, что А В и В находится в СКНФ относительно списка этих переменных.

Доказательство первое. Пусть А уже находится в КНФ. По условию А на

каком-то наборе переменных принимает значение Л. Тогда A* на двойственном наборе принимает значение И и по теореме о СДНФ существует такая формула В1 , что A* B1 и В1 находится в СДНФ. По принципу двойственности В1* A и В1* находится в СКНФ.

Доказательство второе. Аналогично доказательству теоремы 6.4. При этом применяются равносильности Xi Xi C D D , D D Xi D Xi и законы идемпотентности (равносильности 9, 10). Доказательство завершено.

Теорема о единственности СКНФ. Если В1 и В2 – СКНФ формулы А относительно списка переменных ( X1 , , X n ), то B1 и B2 могут отличаться только порядком своих конъюнктивных членов.

Доказательство. При доказательстве можно воспользоваться принципом двойственности.

14

Теорема (критерий равносильности). Две формулы А1 и А2 , зависящие от одних и тех же переменных ( X1 , , X n ) и не равные тождественно Л (И), равносильны в том и только том случае, если они приводятся к СДНФ (СКНФ), отличающимся лишь порядком своих дизъюнктивных (конъюнктивных)

возможностей добавить одну букву в слово. В итоге получаем слова длины т, число которых равно rm .

Доказательство завершено.

15

Тогда по лемме 6.1 существует точно r m 22n различных п-местных булевых функций.

При п = 1 получаем 22n 221 4 булевы функции. При п = 2 получаем 22n 222 16 булевых функций.

Булева функция f (x1 , , xi 1 , xi , xi 1 , , xn ) существенно зависит от переменной xi , если существует такой набор значений 1, , i 1 , i 1, , n , что

f ( 1, , i 1,0, i 1, , n ) f ( 1, , i 1,1, i 1, , n ) .

В этом случае xi называют существенной переменной, в противном случае xi называют несущественной, или фиктивной переменной.

Теорема о разложении функции по переменным. Каждую булеву

где дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных x1, , xk .

Доказательство. Рассмотрим произвольный набор значений переменных ( 1 , , n ) и покажем, что левая и правая части соотношения принимают на нем одно и то же значение.

Левая часть

f (x1 , , xk , xk 1 , , xn ) f ( 1 , , n ) .

Правая часть

как только хотя бы один из сомножителей будет равен нулю, вся конъюнкция обратится в нуль. Таким образом, из ненулевых конъюнкций останется лишь та, в которой i i и

всилу того, что 1, получаем

f ( 1, , n ) .

Доказательство завершено.

Следствие. Разложение произвольной булевой функции по одной переменной имеет вид

f (x1 , x2 , , xn ) x1 f (0, x2 , , xn ) x1 f (1, x2 , , xn ) .

16

Теорема о СДНФ булевой функции. Для любой булевой функции f (x1, , xn ) , отличной от константы 0, справедливо следующее представление

Такое разложение носит название совершенной дизъюнктивной нормальной формы булевой функции.

Теорема о СКНФ булевой функции. Для любой булевой функции f (x1, , xn ) , отличной от константы 1, справедливо следующее представление

Такое разложение носит название совершенной конъюнктивной нормальной формы булевой функции.

Вопрос №19. Алгебра Жегалкина.

Определение. Алгеброй Жегалкина называют алгебру на множестве булевых функций с двумя заданными операциями: конъюнкцией ( ) и суммой по mod 2 ( ).

В алгебре Жегалкина выполняются следующие равносильности:

1)x y y x (коммутативность );

2)x y y x (коммутативность );

3)x ( y z) (x y) z (ассоциативность );

4)x ( y z) (x y) z (ассоциативность );

5)x ( y z) (x y) (x z) (дистрибутивность относительно );

6)x x x (идемпотентность );

7)x x 0 ;

8)0 x 0 ;

9)0 x x ;

10)1 x x ;

11)x x 1;

12)x y (x y) (x 1) ( y 1) 1 x y x y .

Многочленом Жегалкина функции f (x1, , xn ) называется многочлен вида

представлена в виде многочлена Жегалкина и притом единственным образом, с точностью до порядка слагаемых.

17

Пример. Пусть дана функция f (x, y, z) ( y ~ x) z . Рассмотрим два способа получения многочлена Жегалкина.

1 способ.

f (x, y, z) ( y ~ x) z [( y x) ( y x)] z

[( y x) ( y x)] z

…

(x y) z (x y) z x y z

(x z) ( y z) x y z

…

x z x y z y x y z 1

1 z xz yz P(x, y, z).

2 способ.

P(x, y, z) a0 a1x a2 y a3 z a12 xy a13xz a23 yz a123xyz f (x, y, z) ( y ~ x) z

P(1,1,1) a0 a1 a2 a3 a12 a13 a23 a123 0,

1 0 0 1 0 1 1 a123 0 a123 0,

Таким образом, P(x, y, z) 1 z xz yz.

Функция f (x1 , , xn ) называется линейной, если ее многочлен Жегалкина имеет вид

n

P(x1 , , xn ) a0 ai xi .

i 1

Вопрос №20. Дифференцирование булевых функций.

18

f x1 , x2 ,..., xi 1 ,0,..., xn - нулевая остаточная функция. Найдѐм производные функции: f a ~ b c.

fa

1 b c 0 b c 0 b c 1 b c

b c b c b c b c b c b c

b c b c b c b c

b c b c b c b c 1

19