Ответы на вопросы к экзамену 2011
.pdf
Такое разложение носит название совершенной дизъюнктивной нормальной формы булевой функции.
Доказательство завершено.
Теорема 6.11 (о СКНФ булевой функции)
Для любой булевой функции f (x1 , , xn ) , отличной от константы 1, справедливо следующее представление
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x , , x |
n |
) |
|
(x 1 |
x n ) . |
|||
1 |
( 1 |
, , n ) |
1 |
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f ( 1 , , n ) 0 |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Запишем СДНФ для двойственной функции, т.е.
f * (x , , x |
n |
) |
|
x 1 |
x n |
1 |
( 1 |
, , n ) |
1 |
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
f * ( 1 , , n ) 1 |
|
|
|
По тождеству для двойственных формул получаем
f ** (x , , x |
n |
) |
|
(x 1 |
x n ) |
1 |
( 1 |
, , n ) |
1 |
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
f * ( 1 , , n ) 1 |
|
||
Левая часть |
|
|
f ** (x , , x |
n |
) f (x , , x |
n |
) . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Правая часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(x 1 |
x n ) |
|
|
|
|
(x 1 |
x n ) |
||||||||
( 1 , , n ) |
1 |
|
|
|
n |
( 1 , , n ) |
1 |
|
|
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f * ( 1 , , n ) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
f ( 1 , , n ) 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(x 1 |
x n ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( 1 |
, , n ) |
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f ( 1 , , n ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Такое разложение носит название совершенной конъюнктивной нормальной формы булевой функции.
Доказательство завершено.
Теорема 6.13.
Любая булева функция f X 1 ,..., X n представима своим значением в точке (00…0) и значениями всех производных в этой точке в виде:
|
|
|
|
n |
f |
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
f |
|
|
||
f X 1 ,..., X n f 0,0,...,0 |
00...0 X i |
|
|
00...0 X i |
X j ... |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
X i |
|
|
|
|
i, j 1, X i X j |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i j. |
|
|
|
|
|
||
... |
n f |
00...0 X1 |
... X n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X 1 ... X n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Последовательно продифференцируем полином |
||||||||||||||||||
Жегалкина |
функции ( |
|
|
) по |
|
переменным |
|
|
|
и |
определим |
|||||||
значение этой производной в точке |
|
. Учитывая, что |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )
После дифференцирования по переменным |
получаем |
40
|
Действительно, после дифференцирования по переменным
все члены в полиноме Жегалкина функции ( |
) до |
обращаются в |
||
0, а в результате подстановки |
|
|
остальные члены |
|
разложения, кроме |
, также будут равны 0. Отсюда получаем о разложении |
|||
любой булевой функции |
( |
) в точке |
. |
|
41