Теория и разбор типовых задач

P( X ) 1 M ( X ) .

Пример. Вероятность того, что у отдельного вкладчика некоторого сберегательного банка сумма вклада не больше 3 млн. руб., превышает 0,8. Банк обслуживает 1 000 вкладчиков. Какова общая сумма вкладов этого сберегательного банка?

Общая сумма 600 000 000 руб.

Теорема. Для любого ε>0 и любой случайной величины X, дисперсия которой конечна, выполняются неравенства Чебышева:

Замечание. Для нормально распределенной случайной

Пример. Вероятность того, что студент учебного заведения в период работы читального зала посетит его, равна 0,3. Оценить вероятность того, что среди 900 студентов читального зала посетят от 240 до 300 человек.

Решение. M(X) = np = 900 · 0,3 = 270; D(X) = npq = 189.

111

Величина отклонения от M(X) равна

240 270 300 270 30 .

Тогда P( X 270 30) 1 189900 0,79 .

Закон больших чисел в форме Чебышева Теорема (непредельная форма). Пусть X1 , X 2 , …, X n

последовательность попарно независимых, однородных случайных величин, имеющих конечные дисперсии D( X1 ),

Из неравенства Чебышева дальнейшее доказательство теоремы очевидно.

Теорема (предельная форма). Пусть X1 , X 2 , …, X n по-

следовательность независимых, однородных случайных величин, имеющих конечные D(X), которые ограничены сверху постоянной С. Тогда при n и любого сколь угодно малого числа 0имеют место предель-

ные равенства:

Для доказательства достаточно совершить предельный переход при n → ∞ в неравенствах предыдущей теоремы.

112

Сущность доказанной теоремы заключается в следующем: хотя отдельные случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а

Таким образом, при достаточно большом числе n, среднее арифметическое случайных величин теряет свой случайный характер и ведет себя как постоянная математическое ожидание. На этом выводе основывается выборочный метод в статистике.

Закон больших чисел в форме Бернулли Теорема (непредельная форма). Если проводится n

повторных независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событий A постоянна и равна p, то при и для любого сколь угодно малого числа 0, имеют место неравенства:

где W mn относительная частота появления события А.

Доказательство следует из неравенства Чебышева, если в качестве случайной величины X рассмотреть W и вос-

пользоваться тем, что M(W) = p, D(W ) pqn .

Теорема (предельная форма). Если в условиях теоре-

мы Бернулли n , то для любого сколь угодно малого числа 0, справедливы предельные соотношения

113

Доказательство осуществляется путем предельного перехода в неравенствах предыдущей теоремы.

Итак, теорема Бернулли утверждает, что при n относительная частота стремится по вероятности к Р. Коротко

Таким образом, при достаточно больших n относительная частота W(A) теряет свой случайный характер и ведет себя как постоянная вероятность.

Центральная предельная теорема в форме Ляпунова Теорема. Пусть X1 , X 2 , …, X n независимые случайные

величины, имеющие один и тот же закон распределения с

нормальному.

Примем теорему без доказательства.

Сущность данной теоремы заключается в следующем: если отдельные слагаемые X i имеют различные законы распределения, то влияние каждого из них на величину суммы случайных величин равномерно мало и закон распределения суммы случайных величин стремится к нормальному.

Вопросы для самоконтроля

1. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид

распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла случайная величина

400) несовместными. 402) непрерывными.

403) нестандартными. 404) независимыми.

5. Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что

501. M (x) X . 502. M (x) P(x) . 503. M (x) D(x) . 504.

M(x) W (x) .

6.Как определяется дисперсия непрерывной случайной величины, если ее возможные значения принадлежат

всей числовой оси?

7. Как найти числовые характеристики случайной величины, распределенной по геометрическому закону?

115

8. При каких значениях параметров нормальное распределение называется нормированным?

801. а=0; ζ=0. 802. а=0; ζ=1. 803. а=1; ζ=0. 804. а=1; ζ=1.

9. Как найти функцию распределения, если плотность распределения вероятностей известна и интегрируема?

a

901. f(x)=F'(x). 902. F (x) f (x)dx .

b

10. Задана нормальная случайная величина функцией плотности

Найти M(x) и D(x)

1001. M(x)= 2; D(x)=5. 1002. M(x)= 5; D(x)=2. 1003. M(x)= 2; D(x)=8. 1004. M(x)= 5; D(x)=4.

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

3.1. Статистические оценки параметров распределения

116

Основные задачи математической статистики

Математическая статистика изучает закономерно-

сти, которые имеют место в массовых совокупностях однородных объектов.

Основные задачи математической статистики:

1.Разработка методов сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или

врезультате специально поставленных экспериментов.

2.Разработка методов анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид ко-

торого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

117

Генеральная и выборная совокупности. Виды выборки. Способы отбора

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Чаще случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Генеральной совокупностью называют совокупность однородных объектов, подлежащих изучению.

Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность объектов, отобранных из генеральной совокупности.

Объемом совокупности (выборной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1 000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N=1 000, а объем выборки n=100.

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным, выборки подразделяют на повторные и безповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

118

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование формулируют так:

выборка должна быть репрезентативной (представи-

тельной).

На практике применяют различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:

1.Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупность на части. Сюда

относятся: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор.

2.Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда отно-

сятся: а) типический отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор.

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно с помощью повторной и бесповторной выборки.

Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станка-

119

ми, а из продукции каждого станка в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более или менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.

Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20 % изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5 % деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь, и т.д.

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.

Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные объекты.

Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка,