Глава I.4 основы динамики вращательного движения абсолютно твёрдого тела

§I.4.1 момент силы и момент инерции

Основная задача динамики вращательного движения - определение угловых координат точек вращающегося тела в любой момент времени по известным начальным угловым координатам, угловым скоростям и по заданным моментам внешних сил, действующих на тело.

Твёрдое тело – тело, все части которого неизменно сохраняют своё расположение; конфигурация частей твёрдого тела не изменяется даже при действии внешних сил. В частности, неизменными остаются расстояния между его частями.

Это идеальное представление об абсолютно твёрдом теле (см. определение в § I.1.1). В реальности же все существующие в природе твёрдые тела деформируются под действием сил, однако, деформации многих твёрдых тел очень малы относительно прикладываемых к ним сил и поэтому мы можем смело пользоваться упрощённой моделью абсолютно твёрдого тела.

Абсолютно твёрдое тело, имеющее закреплённую ось вращения, без воздействия моментов внешних сил не изменяет угловой скорости вращательного движения. При этом в инерциальной системе отсчёта тело либо покоится ( ), либо вращается с постоянной угловой скоростью, одинаковой для всех точек тела и .

Вращение тела вокруг оси под действием одной силы может быть остановлено действием второй силы (рис.33). Если две силы и по отдельности вызывают вращение тела в противоположных направлениях, то при их одновременном действии тело находится в равновесии, если выполняется условие: ;

где и - радиус-вектор (плечо силы – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы). Из рисунка 35следует, что а .

Моментом силы относительно неподвижной точки называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведённого из точки в точку приложения силы (на рис. 33, это точки и ), на силу :

(I.96)

Рисунок 33 – Вращающее действие сил и

Момент силы является псевдовектором, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора к силе .

Модуль момента силы:

(I.97)

За единицу вращающего момента в СИ принимается момент силы в 1Н, линия действия которой находится на расстоянии 1 м от оси вращения. Эту единицу называют ньютон – метром (Н·м).

Суммарный момент нескольких сил, действующих на тело, равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно данной оси:

. (I.98)

Если моментам сил, вызывающим вращение тела вокруг оси по часовой стрелке, приписать положительный знак, а моментам сил, вызывающим вращение против часовой стрелки, - отрицательный знак, то условие равновесия тела, имеющего ось вращения, можно сформулировать в виде правила моментов.

Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

.

Общее условие равновесия тел: тело находится в равновесии, если равны нулю геометрическая сумма векторов всех приложенных к нему сил и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно данной оси называется физическая величина , равная произведению массы точки на квадрат её расстояния от оси:

. (I.99)

Рассматривая твёрдое тело как систему неизменно соединённых между собой материальных точек с массами , расположенных на расстояниях от оси вращения (рис.34). Каждая из этих точек имеет свой момент инерции ; сумму моментов инерции всех точек, составляющих данное тело, будем называть - моментом инерции тела относительно оси вращения: ; или

. (I.100)

Рисунок 34 – Твёрдое тело, вращающееся около неподвижной оси

Исходя из формулы (I.100), можно дать следующее определение момента инерции тела.

Моментом инерции тела (механической системы) относительно неподвижной оси называется физическая величина , равная сумме произведений масс всех материальных точек тела (системы) на квадраты их расстояний до оси.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу вида:

, (I.101)

где - масса малого элемента объёма тела. Пределы интегрирования определяются формой и размерами тела.

Из формул (I.100) и (I.101) следует, что момент инерции тела зависит от:

• его массы;

• распределения массы относительно данной оси.

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Он играет такую же роль, что и масса при описании поступательного движения тела. Но если масса данного тела считается величиной постоянной, то момент инерции данного тела зависит от положения оси вращения. Кроме того, на момент инерции влияют форма и размеры тела.

Согласно теореме Гюйгенса – Штейнера (теореме о переносе осей инерции): момент инерции тела (рис. 35) относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела (центр масс) параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

.

Рисунок 35 – Параллельное смещение оси вращения, проходящей через центр масс

Из теоремы Гюйгенса – Штейнера, следует, что:

• параллельное смещение оси вращения, проходящей через центр масс, приводит к увеличению момента инерции данного тела;

• момент инерции тела минимален, если ось вращения проходит через центр масс: ;

• оси, проходящие через точку и через центр масс (точку ), должны быть параллельны.

Формула (I.101), позволяет рассчитать моменты инерции тел простейшей формы относительно некоторых осей.

1. Момент инерции однородного прямого тонкого цилиндрического стержня длины и массы относительно оси проходящей через его середину и перпендикулярной к его длине:

. (I.102)

2. Момент инерции однородного сплошного цилиндра (или диска) радиуса и массы относительно оси симметрии перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр:

. (I.103)

3. Момент инерции цилиндра радиуса , массы и высоты относительно оси, перпендикулярной к его высоте и проходящей через её середину:

. (I.104)

4. Момент инерции шара (тонкостенной сферы) радиуса и массы относительно его диаметра (или оси проходящей через центр сферы):

. (I.105)

5. Момент инерции стержня длины и массы , относительно оси проходящей через один из его концов и перпендикулярной к его длине:

. (I.106)

6. Момент инерции полого тонкостенного цилиндра радиуса и массы , относительно оси цилиндра:

. (I.107)

7. Момент инерции цилиндра с отверстием (колесо, муфта):

, (I.108)

где и - радиусы цилиндра и отверстия в нём.