Алгебраические структуры

N	понятия	определения, формулы
1	Бинарная Алгебраическая Операция (БАО)	На непустом множестве задана БАО , если каждой упорядоченной паре элементов из по определенному закону ставится в соответствие элемент из . :
2	Свойства БАО	1.Всюдуопределенность (применимо к любой паре элементов) 2.Однозначность (любой паре элементов соответствует единственный элемент ) 3.Замкнутость (элемент )
3	Ассоциативный закон	БАО называется ассоциативной на , если
4	Коммутативный закон	БАО называется коммутативной на , если
5	Нейтральный элемент	Элемент e называется нейтральным в относительно операции , если
6	Обратный (противоположный) элемент	Элемент называется обратным к элементу относительно операции , если . - обозначение обратного элемента к элементу
7	Группа	Непустое множество G с заданной на нем БАО называется группой , если обладает свойствами: - ассоциативна : :
8	Абелева группа	Группа называется абелевой, если БАО - коммутативна
9	Аддитивная группа	Группа называется аддитивной, если БАО – сложение.
10	Мультипликативная группа	Группа называется мультипликативной, если БАО – умножение.
11	Порядок группы	Если в группе конечное число элементов, то группа называется конечной. Число элементов конечной группы называется порядком группы
12	Порядок элемента a группы G	Наименьшее натуральное число :
13	Циклическая группа
14	Подгруппа	Непустое подмножество множества называется подгруппой группы , если является группой
15	Критерий подгруппы	Непустое подмножество множества называется подгруппой группы
16	Подстановка степени	Пусть , тогда биективное отображение называется подстановкой степени . Обозначают , где ,
17	Множество подстановок степени	обозначают
18	Композиция двух подстановок	,
19	Композиция двух подстановок не является коммутативной
20	Композиция двух подстановок является ассоциативной
21	Тождественная подстановка	.
22	Обратная подстановка	Обратной к подстановке называется такая подстановка , что .
23	Группа подстановок	Множество подстановок степени образует группу относительно операции «композиция подстановок»
24	Порядок группы подстановок степени
25	Инверсия	Элементы и подстановки образуют инверсию, если , при условии что
26	Число всех инверсий подстановки	обозначают
27	Порядок подстановки
28	Четные и нечетные подстановки	Подстановка называется четной, если . Подстановка называется нечетной, если . , .
29	Группа четных подстановок	Множество четных подстановок относительно композиции подстановок является подгруппой группы
30	Порядок группы четных подстановок степени
31	Кольцо	Непустое множество R, в котором заданы две БАО – сложение и умножение, называется кольцом, если 1. - абелева группа 2. Умножение в R ассоциативно 3. В R умножение дистрибутивно относительно сложения
32	Подкольцо	Непустое подмножество множества называется подкольцом кольца , если является кольцом.
33	Кольцо с единицей	Если в кольце есть нейтральный элемент относительно умножения, то называется кольцом с единицей
34	Поле	Непустое множество , в котором заданы две БАО – сложение и умножение, называется полем, если 1. - абелева группа 2. - абелева группа 3.
35	Поле Галуа Galois field	Конечное множество из q элементов , замкнутое по отношению к двум заданным в нем операциям: сложение и умножение , называется полем Галуа, если 1. : , . 2. : , . 3. , , , . Результатом сложения или умножения двух элементов из есть третий элемент из того же множества (q – порядок поля Галуа )
36	Сложение и умножение в	Результат операции в - остаток от деления полученного числа на
37	Кольцо многочленов	состоит из всех многочленов от переменной с коэффициентами из поля Галуа
38	Произведение многочленов и в кольце	- остаток от деления на