Математическая логика

Название операции

чтение

обозначение

Отрицание

не

Конъюнкция

и

Дизъюнкция

или

Импликация

если …то

Эквивалентность

тогда и только тогда

Штрих Шеффера

антиконъюнкция

|

Стрелка Пирса

антидизъюнкция

Сумма по модулю 2

антиэквивалентность

X

Y

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

операция

0

1

№

понятия

определения, формулы

1

Свойства логических операций

1. Самопоглащение

2. Коммутативность

3. Ассоциативность

4. Дистрибутивность

5. Двойное отрицание

6. Законы де Моргана

7. Склеивание

8. Поглощение

9. Действия с логическими константами 0 и 1

10. Тождество

11. Отрицание противоречия

12. Контрапозиция

13. Цепное заключение

14. Противоположность

15. Modus ponens

2

Булева функция

Функцию , принимающую одно из двух значений 0 или 1, от переменных , каждая из которых принимает одно из двух значений 0 или 1, называют булевой функцией

3

Элементарная дизъюнкция (конъюнкция)

- дизъюнкция (конъюнкция) любого числа булевых переменных, взятых с отрицанием или без него, в которой каждая переменная встречается не более одного раза

4

Дизъюнктивная (конъюктивная) нормальная форма

(ДНФ, КНФ)

- формула, представленная в виде дизъюнкции (конъюнкции) элементарных конъюнкций (дизъюнкций)

5

Конституента единицы

Элементарная конъюнкция называется конституентой единицы функции , если

6

Конституента нуля

Элементарная дизъюнкция называется конституентой нуля функции , если

7

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)

- формула, представленная в виде дизъюнкции конституент

единицы данной функции

8

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)

- формула, представленная в виде конъюнкции конституент нуля данной функции

9

Алгоритм перехода от таблицы истинности булевой функции к СДНФ

1. Выделить все интерпретации , на которых значение функции равно 1.

2. Записать конституенты единицы вида: .

3. Получить СДНФ путем соединения операцией дизъюнкции записанных конституент единицы

10

Алгоритм перехода от таблицы истинности булевой функции к СКНФ

1. Выделить все интерпретации , на которых значение функции равно 0.

2. Записать конституенты нуля вида: .

3. Получить СКНФ путем соединения операцией конъюнкции записанных конституент нуля

11

Двойственность булевой функции

Булева функция называется двойственной к функции , если .

12

Самодвойственность булевой функции

Булева функция называется самодвойственной, если

13

Алгебра Жегалкина

Алгебра , образованная множеством вместе

с операциями конъюнкции , суммой по модулю два и

константами и , называется алгеброй Жегалкина

14

свойства

1.

2.

3.

4.

5.

Доказательство свойств 2-4 с помощью таблицы истинности:

6.

7.

8.

Доказательство свойств 6-8 – с помощью свойств 1-5

15

Линейность булевой функции

Булева функция называется линейной, если ее полином Жигалкина не содержит конъюнкций переменных

16

Булева функция, сохраняющая 0

Булева функция называется функцией,

сохраняющей 0, если

17

Булева функция, сохраняющая 1

Булева функция называется функцией,

сохраняющей 1, если

18

Монотонность булевой функции

Булева функция называется монотонной,

если и : выполняется

19

Полная система функций

Система функций называется полной, если любая другая функция может быть выражена с помощью суперпозиций этих функций

20

Теорема Поста - Яблонского

Для того, чтобы система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы она включала в себя хотя бы одну функцию, несохраняющую 0, хотя бы одну функцию, несохраняющую 1, хотя бы одну функцию несамодвойственную, хотя бы одну функцию немонотонную и хотя бы одну функцию нелинейную

Минимизация булевых функций

21

Импликанта булевой функции

Импликантой функции f называется функция g, такая, что на всех интерпретациях, на которых g равна 1, f тоже равна 1.

22

Простая импликанта

Импликанта g называется простой, если никакая ее часть не может являться импликантой функции f .

23

Покрытие булевой функции

Множество всех простых импликант функции составляет ее покрытие.

24

Дизъюнктивное ядро булевой функции f

- множество ее простых импликант, которое образует покрытие f, но после удаления любой импликанты теряет это свойство.

25

Тупиковая ДНФ

- ДНФ булевой функции, состоящая только из простых импликант.

26

Для нахождения тупиковой ДНФ используют операции

- неполного дизъюнктивного склеивания ;

- дизъюнктивного поглощения ;

- полного дизъюнктивного склеивания ,

где A – некоторая элементарная конъюнкция, x – булева переменная