Теория чисел

№	понятия	определения, формулы
1	делимость целых чисел	Целое число делится на целое число (обозначается ), если :
2	Теорема о делении с остатком	, : , . Если , то ; если , то
3	Натуральное число называется простым	если оно не имеет делителей, отличных от и 1
4	Натуральное число называется составным	если оно имеет делители, отличные от и 1
5	Число 1	не является ни простым, ни составным
6	Каноническое разложение натурального числа на простые множители	, где , ,…, - различные простые делители числа , - кратность множителя ( )
7	Наименьшее общее кратное (НОК) двух (и более) целых чисел	- это такое наименьшее целое число, которое делится на каждое из данных чисел. НОК чисел a и b обозначается
8	Наибольший общий делитель (НОД) двух (и более) целых чисел	- это такое наибольшее целое число, на которое делится каждое из данных чисел. НОД чисел a и b обозначается
9	Числа называются взаимно простыми	если
10	НОК чисел a и b
11	Числовая функция	- функция, которая определена при всех натуральных значениях аргумента
12	Функция	- определена при всех натуральных и равна числу всех натуральных делителей данного числа . , - кратность множителя ( ) в разложении числа на простые множители
13	Функция	- определена при всех натуральных и равна сумме всех натуральных делителей данного числа . .
14	Функция Эйлера	- определена при всех натуральных и равна числу всех натуральных чисел взаимно простых с числом , которые не превосходят . ; , где , ,…, - простые делители числа
15	Если - простое	то , , , .
16	Если	то
17	Функция	- определена при всех натуральных и равна числу всех простых натуральных чисел, которые не превосходят . Значение функции находят непосредственным подсчетом простых чисел
18	Для больших значений	можно найти приближенное значение функции по формуле
19	Непрерывные (цепные) дроби	Пусть и , тогда , где . Аналогично, , где , ; , где , ;…; , где , ;… Таким образом, = .
20	Если - рациональное число	то разложение в цепную дробь будет конечным
21	Если - иррациональное число	то цепная дробь - бесконечная
22	Подходящие дроби	Подходящей -й дробью к дроби называется дробь , где . , . ,
23		Число a сравнимо с числом b по модулю m, если .
24	Свойства сравнений	1. Если , то , , , , , . 2. Если и , то , . 3. Если и , то
25	Теорема Эйлера	Если , то
26	Теорема Ферма	Если простое число, то
27	Класс вычетов x по модулю m	= Z
28	Классы вычетов по модулю m	, , ,…,
29	Полная система вычетов по модулю m	- целые числа от 0 до m – 1
30	Сравнение первой степени	1. Если , то сравнение имеет единственное решение. 2. Если , и , то решений нет. 3. Если , и , то сравнение имеет d решений. В этом случае разделим обе части сравнения и модуль на d: . Получим , где . Это сравнение имеет единственное решение: . Итак, решения сравнения находим по формуле: , где
31	Способы решения сравнений первой степени	1) с помощью полной системы вычетов по модулю m: ; 2) используя свойства сравнений; 3) способ Эйлера: ; 4) с помощью цепных дробей: , где - числитель предпоследней подходящей дроби в разложении в цепную дробь
32	Китайская теорема об остатках	Пусть - попарно взаимно простые, тогда система сравнений имеет единственное решение по модулю : , где , , , ,