Устойчивость сжатых стержней критическая сила

Возьмем два сжатых стержня. Длинный стержень раньше изогнется, даже может потерять устойчивость. Следовательно длинные стержни наряду с прочностью надо рассчитывать и на устойчивость.

К сжатому стержню сбоку приложим маленькую силу . Стержень изогнется. Потом силу убираем. Если стержень возвратиться к первоначальному положению равновесие устойчивое, будет продолжать изгибается равновесие не устойчивое, если останется в изогнутом положении равновесие называется безразличным.

Значение силы соответствующее к безразмерному состоянию равновесия называется критической силой и обозначается .

Напряжение соответствующее этой силе называется критическим напряжением и обозначается .

Формула Эйлера для критической силы

Знаем, что - это приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

Из схемы , примем .

Тогда

Обозначим

(1)

Тогда . Решение этого уравнения пишем в виде

(2)

Найдем и н.у. 1) 2) .

Из (1) и (2)

Тогда

(3)

Из (2) и (3)

(4)

В противном случае всегда . Для получаем много значений, но нас интересует наименьшая критическая сила, потому принимаем .

Тогда

(5)

это формула Эйлера для критической силы.

Влияние способа закрепления концов стержня на критическую силу

Определим критическую силу соответствующую разным закреплениям концов сжатого стержня.

Используя эти формулы для критической силы можно написать следующую общую формулу

называется коэффициентом длины или коэффициентом зависящим от закрепления концов стержня.

Формула Эйлера для критического напряжения. Гибкость стержня

Знаем, что критическая сила

(1)

Тогда критическое напряжение будет площадь поперечного сечения стержня.

Подставляя получим:

так как , то

Подставляя и преобразуя получаем:

Обозначим

(2)

называется гибкостью сжатого стержня минимальный радиус инерции сечения стержня.

Тогда критическое напряжение будет

(3)

(3) формула Эйлера для критического напряжения.

Предел применимости формул Эйлера для критической силы и критического напряжения

Знаем, что

(1)

(2)

При выводе этих формул использовалось приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, и рассматривались малые деформации балки. Поэтому эти формулы справедливы для малых деформаций и тем самым для малых напряжений. Тогда можем написать: (где предел пропорциональности материала).

Подставляя имеем:

, отсюда .

Следовательно формулы (1) и (2) справедливы для значений гибкости:

(3)

а для меньших значений не справедливы. Для стали это значение будет:

Для стали при критическое напряжение вычисляется по формуле:

(4)

(4) называется формулой Ясинского. Здесь и являются табличными коэффициентами.